Yo estaba estudiando cálculo 1 otro día, en el tema de la integral de fracciones parciales, cuando percibí que el sabe muy bien la integral indefinida: $$ \int \dfrac{dx}{1+x^2} $$ se podría hacer de otra manera, sólo por contar con él en $\mathbb{C}[x]$. Y así hice,$1+x^2=(x+i)(x-i)$. Por lo tanto $$ \dfrac{1}{1+x^2}=\dfrac{A(x-i)+B(x+i)}{1+x^2} $$ para algún a, B constantes. Es fácil ver que $A=i/2$$B=-i/2$. Entonces $$ \int \dfrac{dx}{1+x^2}=\int \left(\dfrac{i/2}{x+i}+\dfrac{-i/2}{x-i} \right) dx = \dfrac{i}{2}\ln{|x+i|}-\dfrac{i}{2}\ln{|x-i|}+c=$$ $$=\dfrac{i}{2}\ln{\left|\dfrac{x+i}{x-i}\right|}+c$$ Finalmente, mi pregunta es: ¿se me permite factorizar un polinomio en $\mathbb{C}[x]$ a integrar, y si lo soy, ¿cuál es la relación entre el real de la integral indefinida $\tan^{-1}$$\dfrac{i}{2}\ln{\left|\dfrac{x+i}{x-i}\right|}$. Gracias de antemano.
Respuesta
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Lo que has hecho es correcto, como se como va. La gran complicación, que creo que podría ser la única razón por la que los números complejos se suelen evitar en el primer año de cursos de análisis matemático, es que el logaritmo ($\ln$ o $\log$) de la función y el $\arctan$ función de varios valores. Los múltiples valores de la naturaleza de la arcotangente se menciona en la trigometry curso que tomó antes de tomar cálculo; que el logaritmo es evidente cuando se enteran de que a $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$, recallying que $\cos$ $\sin$ no son uno-a-uno. Una vez que hemos visto que las funciones exponenciales son funciones trigonométricas, podría no ser demasiado sorprendente que las funciones logarítmicas son inversas-funciones trigonométricas.
Después de la adición: Si usted escribe $$ \begin{align} \cos x & = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} \\ \\ \\ \sin x & = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} \end{align} $$ a continuación encontrará $y=\tan x$ como una función de la $e^{ix}$. Multiplicando el numerador y el denominador por $e^{ix}$ usted obtiene una expresión en la que $e^{2ix}$ occurse dos veces, y con más de álgebra, se puede resolver para $e^{2ix}$ y, a continuación, para $x$ como una función de la $y$, si se permiten varios valores de funciones inversas.
La forma convencional de definir el concepto de "función" durante el último siglo o así que las reglas "valores múltiples funciones, por lo que cualquier uso de este término hará que algunos matemáticos algunas molestias.
