Un número 47_ _74 es un múltiplo de números consecutivos. Encontrar los números.

Question

Recientemente había resuelto un problema.

Un número 47_ _74 es múltiplo de, al menos, dos números consecutivos. Encontrar los números. La lista de números pueden ser de cualquier longitud de $\ge 2$.

La primera vez que vi que si fueran múltiplos de 4 números, entonces debe ser divisible por 4 pero no por lo que son múltiplos de 2 o 3 números. También todos los dos o tres números deben ser de 2 dígitos o 3 dígitos. Traté de emparejamiento de números consecutivos, pero no hay dos números consecutivos se produce un resultado cuya unidades fue de 4 dígitos. Lo he intentado por 3 pares de números. Los únicos dos pares de se $(*2, *3, *4)$$(*7, *8, *9)$. (Reemplazar las estrellas con números de un dígito). Así que ahora desde $70\cdot 70\cdot 70=343000 \text{ and } 80\cdot 80\cdot 80 = 512000$. He intentado $72\cdot 73\cdot 74$ $77\cdot 78\cdot 79$ $77\cdot 78\cdot 79$ se produce un resultado de 474474 y cumplió con el resultado.

Quiero saber si mi enfoque es práctico. Es correcto? Puedes sugerir una mejor forma de afrontar este problema? Me encantaría nuevas respuestas. Puede sugerir algún 'elegante' la prueba?

Answer 1

Creo que no hay mucho margen de mejora en su enfoque. Hay un pequeño problema en el que tratando de $72\cdot 73\cdot 74$ como sería divisible por $4$.

Mediante el modulo 5 aritmética puede limitar las posibilidades de una forma bastante limitada. Sabemos que $47..74\equiv4$. En el modulo 5 aritmética sólo hay tres (o cuatro) factorizations de $4\equiv 2\cdot 2\equiv 3\cdot 3\equiv 1\cdot 4\equiv 4\cdot 1$. Por lo tanto, es bastante obvio que dos números consecutivos no puede igualdad de $47..74$. Durante tres consecutivos a ser el equivalente a $4$ ninguno de ellos puede no ser $0$ (debido a que su producto sería equivalente a $0$) - así que deja sólo a$1\cdot2\cdot3\equiv 1$$2\cdot3\cdot4\equiv 4$. Cuatro consecutivos son imposibles como ya sabemos (que podemos ver por medio del modulo 4 aritmética de lugar).

El próximo estrechamiento es el uso de estimaciones para estrechar abajo las posibilidades, lo cual también es bastante estrecho. Por señalar que un producto $(n-1)n(n+1)$ tiene la propiedad:

$$(n-1)^3 \le (n-1)n(n+1) \le (n+1)^3$$

y usted tiene que el producto debe estar en el rango $[470074, 479974]$ que$(n-1)^3 \le 479974$, lo que significa $n-1 \le 78$$(n+1)^3\ge 470074$, lo que significa $n+1\ge 78$, que es

$$77 \le n \le 79$$

Pero la restricción de ninguno de $(n-1)$, $n$ y $(n+1)$ son divisibles por cuatro, significa que $n$ es incluso lo que deja sólo a $n=78$ (o del modulo 5 aritmética sabemos que $n\equiv 3$, que se termina con $3$ o $8$), que es el posible candidato es $77\cdot78\cdot79 = 474474$