La función inversa de a$\operatorname{li}(x)$$x>\mu$?

Question

¿Cómo puedo obtener la función inversa de la $\operatorname{li}(x)$$x>\mu$?

Donde $$\operatorname{li}(x)=\int_{0}^{x}\frac{ds}{\ln(s)}$$ is the so-called logarithmic integral, and $\operatorname{li}(\mu)=0$.

Answer 1

Hay dos respuestas. Existe una función inversa, y es real analítica. Sin embargo, como J. M. indica, no hay pruebas, en los lugares de costumbre, que nadie ha encontrado un atractivo asintótica de expansión para la inversa de la exponencial de la función integral. Hay una muy cuidadoso tratamiento de este en PECINA

Para incluir un artículo que me gustan, por $x > 1,$, de 5.1.10 en Abramowitz y Stegun, tenemos $$ \mbox{li} \; x = \gamma + \log \log x + \sum_{n=1}^\infty \; \frac{(\log x)^n}{n \, n!} $$ donde $\gamma = 0.5772156649...$ es el de Euler-Mascheroni constante.