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Algunos equivalente formulaciones de compacidad de un espacio métrico

Deje $(X, d)$ ser un espacio métrico. Tengo que probar las siguientes afirmaciones son equivalentes.

  1. $(X,d)$ es completa (es decir, cada secuencia de Cauchy es convergente) y totalmente acotado (es decir, para cada $\epsilon>0$, $(X,d)$ tiene un número finito de $\epsilon$-net).
  2. $(X,d)$ es secuencialmente compacto (es decir, cada secuencia tiene una convergente larga) .
  3. $(X,d)$ es Bolzano - Weierstrass compacto (es decir, cada subconjunto infinito de $X$ tiene un punto límite).
  4. $(X,d)$ es compacto (es decir, cada cubierta abierta de a $X$ tiene un número finito de subcover).
  5. Cada infinita abra la cubierta de $(X,d)$ tiene una adecuada subcover.

He probado los siguientes: 1$\Longleftrightarrow$2, 2$\Longleftrightarrow$3, 4$\implies$3, 2$\implies$4, 4$\implies$5 y el 5$\implies$3. A pesar de que son suficientes para demostrar la equivalencia de las cinco declaraciones, traté de demostrar que desde las direcciones posibles. Pero estoy atascado con la prueba de 3$\implies$4 y el 5$\implies$4. ¿Alguien sabe cómo demostrar a ellos sin necesidad de utilizar ninguna de las afirmaciones anteriores? Por favor, ayudar.

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DiGi Puntos 1925

Cada argumento de que puedo ver ahora mismo a mostrar que (5) implica que (4) sea esencialmente pasa a través de una de las otras formas equivalentes o utiliza una forma mucho más sofisticada resultado acerca de la métrica de los espacios, es decir, que todo espacio métrico es paracompact. Esto significa que cada cubierta abierta $\mathscr{U}$ $X$ tiene un localmente finito abierto refinamiento $\mathscr{V}$ cubriendo $X$. Es decir,

  • $\mathscr{V}$ es una cubierta abierta de a $X$;
  • para cada una de las $V\in\mathscr{V}$ no es un porcentaje ($U\in\mathscr{U}$tal que $V\subseteq U$; y
  • cada una de las $x\in X$ tiene un abrir nbhd $N_x$ tal que $\{V\in\mathscr{V}:N_x\cap V\ne\varnothing\}$ es finito.

Tenga en cuenta que la tercera condición implica que cada punto de $X$ es de sólo un número finito de miembros de $\mathscr{V}$, es decir, que $\mathscr{V}$ es de punto finito. Esto es realmente todo lo que necesito. (Un espacio en el que cada apertura de la tapa tiene un punto finito abrir el refinamiento se dice que metacompact, así que estoy usando sólo el resultado más débil que todo espacio métrico es metacompact.)

Teorema: Cada punto finito abra la cubierta de $X$ tiene un irreductible subcover, es decir, sin el adecuado subcover.

Prueba: Vamos a $\mathfrak{R}=\{\mathscr{R}\subseteq\mathscr{V}:\mathscr{R}\text{ covers }X\}$; $\mathfrak{R}$ es parcialmente ordenado por $\supseteq$. Deje $\mathfrak{C}$ ser una cadena en $\mathfrak{R}$, y deje $\mathscr{C}=\bigcap\mathfrak{C}$; afirmo que la $\mathscr{C}\in\mathfrak{R}$, es decir, que $\mathscr{C}$ todavía cubre $X$.

Prueba de Reclamación: Supongamos que algunos de los $x\in X$ no está cubierto por $\mathscr{C}$. Deje $V_1,\dots,V_n$ ser un número finito de miembros de $\mathscr{V}$ contiene $x$. A continuación, ninguno de estos $V_k$ puede pertenecer a $\mathscr{C}$ (o más $x$ será cubierto por $\mathscr{C}$). Pero $\mathscr{C}$ es la intersección de las colecciones de la cadena de $\mathfrak{C}$, por lo que para cada una de las $k=1,\dots,n$ hay algo de $\mathscr{C}_k\in\mathfrak{C}$ tal que $V_k\notin\mathscr{C}_k$. Debido a $\mathfrak{C}$ es una cadena, las colecciones $\mathscr{C}_1,\dots,\mathscr{C}_n$ están anidados, y sin pérdida de generalidad podemos suponer que la indexación se ha elegido de modo que $\mathscr{C}_1\supseteq\dots\supseteq\mathscr{C}_n$. Pero, a continuación, $\mathscr{C}_n$ contiene ninguno de los conjuntos de $V_1,\dots,V_n$, lo $\mathscr{C}_n$ no cubre $x$, y, por tanto,$\mathscr{C}_n\notin\mathfrak{R}$, una contradicción.

Ahora podemos aplicar el lema de Zorn para el orden parcial $\langle\mathfrak{R},\supseteq\rangle$ a la conclusión de que la $\mathfrak{R}$ tiene un elemento maximal $\mathscr{M}$ con respecto al $\supseteq$:$\mathscr{M}$$\mathfrak{R}$, pero no hay una buena subcolección de $\mathscr{M}$ pertenece a $\mathfrak{R}$. Pero, a continuación, $\mathscr{M}$ es una cubierta abierta de a $X$ sin el adecuado subcover, es decir, una irreductible de la cubierta de $X$.$\dashv$

Ahora es fácil demostrar que (5) implica (4). Supongamos que cada infinita abra la cubierta de $X$ tiene una adecuada subcover; esto equivale a decir que cada irreductible abra la cubierta de $X$ es finito. Deje $\mathscr{U}$ ser una cubierta abierta de a $X$. Por lo que acabo de mostrar, $\mathscr{U}$ tiene un irreductible subcover $\mathscr{V}$, y siendo irreductible, $\mathscr{V}$ debe ser finito. Por lo tanto, $X$ es compacto.

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