Resolver $xy=3$ y $4^{x^2}+2^{y^2}=72$

Question

Tengo un sistema de ecuaciones $xy=3$ y $4^{x^2}+2^{y^2}=72$ cuya solución sé que es $x=y=\sqrt 3$ pero, ¿cuáles son los pasos para solucionarlo?

Answer 1

Las únicas soluciones son $\pm(\sqrt{3},\sqrt{3})$ y $\pm(\sqrt{1.5},\sqrt{6})$ . Prueba:

Sustituir $a=2x^2, b=y^2$ . Esto se convierte en $2^a + 2^b = 72$ . La relación entre $a,b$ se convierte en $ab=2(xy)^2=18$ y $a,b>0$ .

Dejemos que $f(x)=2^{x} + 2^{18/x}$ . Nos interesan las soluciones positivas para $f(x)=72$ . Desde $f(x)=f(\frac{18}{x})$ podemos limitarnos a $x \le \sqrt{18}$ .

Una solución es $f(3)=2^3 + 2^6=72$ que corresponde a $2x^2=3,y^2=6$ es decir $\pm(\sqrt{1.5},\sqrt{6})$ .

Se recupera otra solución - $6=\frac{18}{3}$ que corresponde a $2x^2=6,y^2=3$ es decir $\pm(\sqrt{3},\sqrt{3})$ .

Voy a mostrar que $f(x)=72$ no tiene soluciones para $0<x<\sqrt{18}$ que no sea $x=3$ . La prueba será demostrando que $f$ es decreciente en ese intervalo:

$$f'(x)=\ln 2 ( 2^x -\frac{18}{x^2} 2^{\frac{18}{x}})$$

Para $0<x<\sqrt{18}$ , $$1<\frac{18}{x^2}, 2^{x} < 2^{\frac{18}{x}}$$ Así que $2^x < \frac{18}{x^2}2^{\frac{18}{x}}$ , demostrando $f' <0$ .

Answer 2

Cuando se intenta resolver un sistema de dos (o más variables), se supone naturalmente que una solución posible es aquella en la que todas las variables son iguales.

A continuación, establezca $x=y=t$ y resolver la ecuación \begin {casos} xy=t \cdot t=3 \\ 4^{x^2}+2^{y^2}= \big (2^{t^2} \big )^2+2^{t^2}=72 \end {casos}

Por $t^2=3$ tenemos $t=\pm\sqrt{3}$ . Sustituyendo en la otra ecuación tenemos que dos soluciones son $(x,y)=(+\sqrt{3},+\sqrt{3})$ y $(x,y)=(-\sqrt{3},-\sqrt{3})$ . O por $\big(2^{t^2}\big)^2+2^{t^2}=72$ nes que tienen $2^{t^2}=\frac{-1+\sqrt{289}}{2}=8$ .

Para investigar más a fondo otras soluciones podría asumir $$ x=t+s, \\ y=t-s. $$