La probabilidad de que en un juego de bridge, cada uno de los cuatro jugadores reciba un as.

Question

La pregunta es demostrar que la probabilidad de que cada uno de los cuatro jugadores en una partida de bridge reciba un as es $$ \frac{24 \cdot 48! \cdot13^4}{52!}$$ Mi explicación hasta ahora es que hay $4!$ formas de organizar los 4 ases, $48!$ formas de organizar las otras cartas, y como cada disposición es igualmente probable, dividimos por $52!$. Creo que $13^4$ representa el número de disposiciones para distribuir 4 ases entre 13 cartas, pero no entiendo por qué debemos multiplicar también por este valor.

Answer 1

Imagina $4$ grupos de $13$ espacios para las $4$ manos
$\small\square\square\square\square\square\square\square\square\square\square\square\square\square\quad\square\square\square\square\square\square\square\square\square\square\square\square\square\quad\square\square\square\square\square\square\square\square\square\square\square\square\square\quad\square\square\square\square\square\square\square\square\square\square\square\square\square$

Un as puede ser colocado en cada grupo en cualquiera de los $13$ lugares, por lo tanto $13^4$
Los palos de los ases pueden ser distribuidos entre grupos de $4!$ maneras, por lo tanto $24$
Las cartas restantes pueden ser colocadas en $48!$ maneras,
y $52!$ es la manera irrestricta de colocar las cartas
por lo tanto (poniendo los términos en el orden que tienes), $Pr = \dfrac{24\cdot48!\cdot13^4}{52!}$

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MANERA MÁS SIMPLE:

Existe una manera mucho más simple de obtener el mismo resultado.

Necesitamos un as en cada grupo de 13, ¡no importa cómo se coloquen el resto de las cartas!

El primer as tiene que estar en algún grupo, cada uno de los otros ases tiene que caer en un grupo diferente, por lo que el $2do$ as tiene $39$ lugares permisibles de $51,$ y así sucesivamente

por lo tanto $Pr = \dfrac{39}{51}\cdot\dfrac{26}{50}\cdot\dfrac{13}{49}$

Answer 2

Hay dos enfoques para preguntas de juegos de cartas como estas. En el primer enfoque, asumimos temporalmente que el orden de las cartas dentro de la mano importa. Al hacerlo, tratamos nuestro espacio muestral como todas las formas de organizar las cincuenta y dos cartas en una fila.

Al abordar de esta manera, tenemos los siguientes pasos para el principio de multiplicación:

• Elegir quién recibe qué as: $4!$ formas
• Organizar las $48$ cartas restantes en una fila y dárselas a los jugadores (12 al norte, las siguientes doce al este, las siguientes doce al sur, etc...): $48!$ formas
• Elegir dónde va el as en la mano para cada jugador: $13^4$ formas

Nota que el paso final fue necesario para que lo que contamos cubra todas las formas posibles en que se reparten las 52 cartas para que cada jugador reciba al menos un as. Si no hubiéramos multiplicado por $13^4$, habría sido como si solo consideráramos que el as fuera la primera carta en la mano de cada jugador. Dado que estamos considerando que el orden importa, la mano $A\spadesuit 2\spadesuit 3\spadesuit\dots$ es un resultado diferente que $2\spadesuit A\spadesuit 3\spadesuit\dots$

Dado que hay $52!$ número de formas equiprobables de repartir las cartas (donde el orden importa), la probabilidad es la siguiente:

$$\frac{4!48!13^4}{52!}$$

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Mi preferencia es, en cambio, trabajar en la situación en la que el orden no importa.

Aquí, descomponemos como principio de multiplicación:

• Elegir qué jugador recibe qué as: $4!$ formas
• Elegir doce cartas adicionales para cada jugador: $\binom{48}{12,12,12,12}=\frac{48!}{12!12!12!12!}$ número de formas

Hay un total de $\binom{52}{13,13,13,13}=\frac{52!}{13!13!13!13!}$ número de repartos (donde el orden dentro de cada mano no importa) para una probabilidad entonces de:

$$\frac{4!\binom{48}{12,12,12,12}}{\binom{52}{13,13,13,13}}$$

lo que después de una breve manipulación, verás que es precisamente la misma respuesta que antes.

Answer 3

Dado que el orden no importa, hagamos las manos una por una.

1. Para la primera, hay 4 Ases y necesito elegir 1 para darle a esta persona, $\binom{4}{1}$. Luego necesito elegir 12 cartas de las 48 que no son Ases para completar esta mano, $\binom{48}{12}$. Así que el número de formas de hacer esta mano es $$\binom{4}{1}\binom{48}{12}.$$

2. Ya le di al primer jugador un As, así que me quedan tres y necesito elegir uno para darle a esta persona. También utilicé 12 cartas que no son Ases en la última persona, así que quedan 36 cartas que no son Ases y necesito elegir 12. El número de formas de hacer esta mano es entonces, $$\binom{3}{1}\binom{36}{12}.$$

3. y 4. siguen la misma lógica y así que tengo $$\binom{2}{1}\binom{24}{12}\binom{1}{1}\binom{12}{12}$$ formas de hacer las manos 3 y 4.

Finalmente, todas las posibles formas de hacer 4 manos de 13 cartas son $$\binom{52}{13}\binom{39}{13}\binom{26}{13}\binom{13}{13} = \binom{52}{13,13,13,13} = \frac{52!}{13!\,13!\,13!\,13!}.$$

Por último, poniéndolo todo junto, la probabilidad de que cada persona reciba un As es así \begin{align*}\frac{\binom{4}{1}\binom{48}{12}\binom{3}{1}\binom{36}{12}\binom{2}{1}\binom{24}{12}\binom{1}{1}\binom{12}{12}}{\binom{52}{13,13,13,13}} &= \frac{4!}{1!3!}\cdot\frac{48!}{12!36!}\cdot\frac{3!}{1!2!}\cdot\frac{36!}{12!24!}\cdot\frac{2!}{1!1!}\\ &\qquad\times\frac{24!}{12!12!}\frac{1!}{1!0!}\cdot\frac{12!}{12!0!}\cdot\frac{13!\,13!\,13!\,13!}{52!}\\ &=\frac{24 \cdot 48! \cdot13^4}{52!}. \end{align*}

Answer 4

Después de que las cartas hayan sido barajadas y cortadas, hay $\binom{52}4$ posibilidades igualmente probables para el conjunto de cuatro posiciones en la baraja ocupadas por los ases. Entre esos $\binom{52}4$ conjuntos, hay $13^4$ que resultan en que cada jugador reciba un as; es decir, hacer que una de las $13$ cartas que se repartirán a Sur sea un as, y lo mismo para Oeste, Norte y Este. Por lo tanto, la probabilidad es $$\frac{13^4}{\binom{52}4}=\frac{4!\cdot48!\cdot13^4}{52!}=\frac{2197}{20825}\approx0.1055$$

Answer 5

Hay $4!$ formas de distribuir los ases, luego $\frac{48!}{12!^4}$ formas de distribuir las otras $48$ cartas, $12$ a un jugador.

Sin preocuparse por los ases, hay $\frac{52!}{13!^4}$ formas de distribuir $52$ cartas, $13$ a un jugador.

Por lo tanto, la probabilidad es $$ \frac{4!\frac{48!}{12!^4}}{\frac{52!}{13!^4}}=\frac{13^4}{\binom{52}{4}}\doteq0.1054982 $$