Demostrar $4-\sqrt{2}-\sqrt[3]{3}-\sqrt[5]{5} \gt 0$

Question

Es posible saber si $4-\sqrt{2}-\sqrt[3]{3}-\sqrt[5]{5} \gt 0$ sin el uso de los números decimales?

Answer 1

No es difícil comprobar siguientes desigualdades (sólo el poder de ambos lados, y debe resultar en simple las desigualdades en los números naturales):

\begin{align} \frac{4}{3} &< \sqrt{2} < \frac{5}{3}\\ \frac{4}{3} &< \sqrt[3]{3} < \frac{5}{3}\\ \frac{4}{3} &< \sqrt[5]{5} < \frac{5}{3}\\ \end{align} Sumando estos le dará $$ 4 < \sqrt{2}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[5]{5} < 5\\ $$