La prueba de mapeo de Riemann teorema (si $U\subsetneq\mathbb C$ es simplemente conectado, es conformemente equivalente a la unidad de disco $D$) va más o menos la siguiente:
- Considerar a la familia $F$ de todas las funciones inyectiva $U\rightarrow D$ teniendo un momento dado de la $a$$0$.
- Mostrar que $F$ es no vacío.
- El mapa de $f\mapsto |f'(a)|$ es continua y $F$ es uniformemente acotada, de modo que por el teorema de Montel hay un $f_0\in F$ maximizar $|f_0'(a)|$.
- Mostrar que $f_0$ es a $D$.
Los dos complicado bits de la prueba son el segundo y cuarto balas. Aquí están las ideas detrás de las pruebas de los dos:
- Podemos WLOG asumen $0\not\in U$. A continuación, hay una rama de $g$ de una raíz cuadrada se define en $U$. A continuación, $g$ es inyectiva, $-g(U)$ es abierto y discontinuo de $g(U)$ $g(U)$ es disjunta de algún disco cerrado. El complemento de ese disco puede ser asignada a $D$, y componer con la adecuada transformación de Möbius mapas de $a$$0$.
- Supongamos $b\in D\setminus f_0(U)$. A continuación, el mapa $$\psi(z)=\sqrt{\frac{f_0(z)-b}{1-\overline{b}f_0(z)}}$$ dentro de la función no se desvanecen, por lo que podemos encontrar una sucursal de su raíz cuadrada de $U$) se $U$ en la unidad de disco y, por lo tanto $$h(z)=\frac{\psi(z)-\psi(a)}{1-\overline{\psi(a)}\psi(z)}$$ es en $F$. Podemos encontrar $$|h'(a)|=\frac{1+|b|}{2\sqrt{|b|}}|f_0'(a)|>|f_0'(a)|$$ contradiciendo la elección de $f_0$.
Puedo ver la razón detrás de probar el ex de la manera que nosotros queremos mapa de $U$ en un set el complemento de los cuales tiene interior no vacío. La raíz cuadrada se adapte perfectamente desde $g(U)$ $-g(U)$ siempre son disjuntas para una rama de la raíz cuadrada (podríamos del mismo modo tomar una rama del logaritmo, a continuación, $g(U)$ $g(U)+2\pi i$ son disjuntas).
Sin embargo, la última parte de la prueba que se siente para mí como un truco de magia. Lo pensé varias veces, pero no pude averiguar nada para explicar este curso de acción en la prueba. Claramente nos gustaría aumentar un derivado de alguna manera, pero confirmando esto con la función construido anteriormente requiere un esfuerzo computacional, algo que no visibles a simple vista.
Me pregunto, ¿cómo de "justificar" la construcción de esta función en la última parte de la prueba (posiblemente por algún argumento geométrico)? Por otra parte, es posible argumentar que hacia la existencia de una función con un mayor derivados, sin la necesidad de la construcción?
