$f \in \mathbb C[x]$ monic polinomio de primer grado que no es co-prime con cualquiera de sus derivados polinomios, a continuación, $f$ tiene sólo una raíz?

Question

Deje $f \in \mathbb C[x]$ ser un monic polinomio de primer grado $p$ tal que $f$ no es co-prime con cualquier $f^{(k)}$ ($k$-th derivados) por $1\le k<p$. Entonces, ¿es verdad que $\exists a\in \mathbb C$ tal que $f(x)=(x-a)^p$ ?

Answer 1

Creo que este es resuelto un caso particular de un problema abierto, llamado las Casas-Alvero conjetura (de los españoles matemático Eduardo Casas-Alvero, propuesto en el año 2001)!

Casas-Alvero conjetura. Deje $f$ ser un polinomio de grado $d$ definida sobre un campo de $K$ de característica cero. Si $f$ tiene un factor en común con cada uno de sus derivados $f^{(i)}$, $i = 1, \dots, d − 1$ a continuación, la hipótesis predice que $f$ debe ser una potencia de un factor linear.

Observe que el factor común de $f$ $f^{(i)}$ (o la raíz común si $K$ es algebraicamente cerrado) puede depender de $i$.

Pero esperemos que en el caso de que $d=p^k$ es una fuente primaria de energía (en particular si $f$ primer grado) ha sido resuelto por Hans-Christian Graf von Bothmer, Oliver Laboratorios, Josef Schicho, Christiaan van de Woestijne en Las Casas-Alvero conjetura para una infinidad de grados, Diario de Álgebra 316(1), pp 224-230 (2007).