¿Por qué restamos cosas para encontrar el área utilizando la integral definida?

Question

Ya he pedido una pregunta similar . Pero la respuesta a esta pregunta es muy difícil de entender. Soy nuevo en este concepto, así que estoy buscando una explicación más fácil.

Mi principal pregunta es: ¿por qué restamos cosas para encontrar el área utilizando la integral definida?

Aquí hay un par de cifras -

1. Dos parábolas -

Área $\displaystyle = \int \left(\sqrt{x} - x^2 \right) dx$

¿Por qué restamos para encontrar el área? ¿Por qué no sumamos?

2. De forma similar en la parábola y la recta.

Área $\displaystyle = \int (x + 2 - x^2)dx$

Answer 1

$\int_a^b f(x)$ da el área "bajo la curva" de $f(x)$ entre $a$ y $b$ La zona desde el $x$ -eje a la curva, a través de ese intervalo.

En los casos dados, tienes dos curvas con las que estás tratando; una (que llamaré $f(x)$ ) es más alta y la otra ( $g(x)$ ) es menor. Encontrar el área entre estas curvas significa encontrar el área que está bajo $f$ pero no bajo $g$ . Esto, es sencillo de ver, lo podemos hacer por sustracción: el espacio vertical entre $f(x) = \sqrt{x}$ y $g(x) = x^2$ en, digamos, $1/4$ es igual a $$f\left(\frac{1}{4}\right)-g\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{16} = \frac{7}{16}$$ porque mientras hay $1/2$ debajo de $f$ allí, $1/16$ también está por debajo $g$ y, por lo tanto, no debería contarse.

Aquí está este par de funciones con sus integrales mostradas, superpuestas. El espacio vertical mencionado anteriormente también se muestra como una línea vertical.

El área bajo $f$ contiene tanto el área pálida como el área más oscura; el área bajo $g$ contiene sólo la zona más oscura. Pero sólo necesitamos la zona pálida; podemos encontrar ambas (tomando la integral de $f$ ), y luego eliminar la zona oscura (tomando la integral de $g$ y restando eso de la integral de $f$ ).

Answer 2

Mira la segunda imagen que has proporcionado. Deje que $A$ representa la región bajo la línea; que $B$ representa la región bajo la parábola; y sea $C$ representan la región entre la línea y la parábola. Obsérvese que $B$ y $C$ no se superponen. Queremos encontrar el área de la región $C$ .

Obsérvese que la combinación de regiones $B$ y $C$ cubre completamente la región $A$ . Reiterado: $$B\cup C=A\tag{1}$$ Ecuación $(1)$ significa que todos los puntos de $A$ mienten en $B$ o en $C$ . Podemos resolver la región $C$ . $$C=A-B\tag{2}$$ Ecuación $(2)$ significa que todos los puntos de $C$ mienten en $A$ pero no mientan en $B$ .

El área de una región es simplemente la suma de todos los puntos de esa región.

Answer 3

En este contexto, para encontrar el área sombreada, piensa en el área bajo cada curva por separado, y luego trata de encontrar el área NO compartida por ellas. ¿Qué obtendrás?

Como el área es un número plano, para hallar la diferencia basta con restar dos áreas:

Incluso se puede pensar en términos de manzanas. Suponga que tiene $15$ manzanas, dispuestas en una $3×5$ de la rejilla.

Ahora, para cualquier conjunto de manzanas, el número total de manzanas no tiene que ver con la forma en que están dispuestas, y por lo tanto, para cualquier número de manzanas que eliminemos de la cuadrícula, no tenemos que preocuparnos por la forma en que estaban en la cuadrícula, sino sólo por el número eliminado.

Y para ver también por qué:

$$\int_a^b (f+g)(x) \mathrm dx = \int_a^b f(x) \mathrm dx + \int_a^b g(x) \mathrm dx.$$

Obsérvese que la integral definida es un operador lineal, lo que significa que distribuye sobre la suma y esto se puede comprobar utilizando el teorema fundamental del cálculo.

$$h(x) =(f+g)(x)=f(x)+g(x),$$

$$\int_a^b h(x) \mathrm dx =H(b)-H(a)=$$ $$F(b)+G(b)-G(a)-F(a).$$

Reordenando los términos se obtiene:

$$F(b)-F(a)+G(b)-G(a)=\int_a^b f(x) \mathrm dx +\int_a^b g(x) \mathrm dx.$$

Answer 4

Si se descompone el área en rectángulos verticales finos, la altura de los rectángulos es la diferencia entre las ordenadas.

Answer 5

Supongamos que el gráfico superior es 1 y luego 2, 3, 4 . Tenemos que encontrar el área entre la Curva-Roja y la línea Azul en el primer cuadrante ( Gráfico 1). Cuando integramos la curva roja con el límite de 0 a alguna x positiva, obtenemos el área de la región roja (gráfico 2). De la misma manera, cuando integramos la línea azul con el límite de 0 a alguna x positiva obtenemos el área de la región azul ( Gráfica 3). Para encontrar el área entre la línea azul y la curva roja, integramos la línea azul con el límite x = 0 a x = 2. Del mismo modo, integramos la curva roja con el límite x = 0 a x = 2. Como la Línea Azul está por encima de la Curva Roja, restamos el Área Azul del Área Roja para obtener el Área Verde ( Gráfico 4 )