La alternancia de la serie; el primer término es 0. ¿Tengo un problema?

Question

Tengo un suplente de la serie que quiero para la prueba de la convergencia o divergencia. La serie es la siguiente:

$$\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{n^2-1}{n^3+1}$$

Yo sé cómo probar esto para la convergencia, pero el primer término es $0$ "$n+1$ " términos no son siempre menor que $n$ términos. He visto la respuesta y la serie es convergente (aunque no absolutamente, pero yo sabía que a partir de las pruebas de $\sum_{n=1}^\infty \frac{n^2-1}{n^3+1}$ en un ejercicio anterior), ¿sólo se puede "tirar" de la $0$ y dicen que no importa en el gran esquema de las cosas? Los términos de la serie tienden a $0$, por lo que las condiciones para la convergencia en el suplente de la serie están satisfechos, excepto por ese desagradable $0$.

Answer 1

Usted puede eliminar un número finito de términos y no afectará a la convergencia.

Answer 2

Observar que su serie se vuelve a escribir $$ \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{n^2-1}{n^3+1}=\sum_{n=\color{red}{2}}^\infty (-1)^n \frac{n^2-1}{n^3+1}. $$

Answer 3

Si su secuencia es $a_n$, usted podría poner a prueba la serie de la secuencia de $b_0 = 1$ (o $-1$) y $b_n = a_n$ $n > 1$ para la convergencia.

Usted puede "limpia" de aplicar la convergencia de la prueba de a $b_n$, y voy a dejar como un ejercicio de relación de que a la serie de $a_n$ (no es difícil). Porque este hack es tan trivial por lo general, sólo se aplican "de manera descuidada," pero usted está definitivamente haciendo lo correcto preguntando cómo hacerlo correctamente.

En general, cuando las pruebas de convergencia para cualquier serie que puede hacer cualquier manipulación a la primera $N$ términos que usted quiere (es decir, que "ignorar", lo que debe significar).