Siempre he estado intrigado por la ecuación de $y=(-1)^x$, tal vez porque es tan simple, pero tan difícil encontrar información acerca de. Es la cosa más cercana a una función trigonométrica posible utilizando sólo "básica" de matemáticas. Si se evalúa sólo para números enteros, exhibe trigonométricas comportamiento, subir y bajar el eje de las x a un pico de $±1$. Cuando empezamos a conectar en valores decimales, la cosa se complica, produciendo "real" de los valores de fracciones con números impares y los valores complejos de fracciones con números. Qué se puede hacer con este infinitesimal de oscilación? Normal software graficador no el gráfico de la ecuación. Wolfram Alpha, sin embargo, ofrece un gráfico, que se parece a esto.
Yo, por desgracia, no podía entender cómo el sitio web llega a estas curvas, cuando en realidad $(-1)^{1\over3}$ debe ser igual a $-1$. Sin embargo, he descubierto cómo la función coseno se puede expresar en términos de $y=(-1)^x$ mediante la manipulación de la identidad de Euler.
$$e^{iπ}=-1$$ $$e^{iπx}={(-1)}^x$$ $$e^{ix}={(-1)}^{x\overπ}$$ $$e^{-ix}={(-1)}^{{-x\overπ}}$$
Desde $\cos x={e^{ix}+e^{-ix}\over 2}$, sumando las dos ecuaciones anteriores y dividiendo por dos, nos permite concluir que
$${(-1)^{x\overπ}+(-1)^{-x\overπ}\over 2}=\cos x$$
Wolfram Alpha confirma:
No he visto esta transformación en cualquier lugar. Soy el primero en encontrarlo? Sería genial si yo fuera. Otro impresionante relación que he encontrado es que la ecuación de $y=(-1)^{-ix\overπ}$ rendimientos ordinarios de la función $y=e^x$. Esto puede ser probado casi de la misma manera exacta. Creo que esto es fascinante, y estoy confundido ¿por qué tan poco se ha escrito acerca de esto. El único problema es, las relaciones de trabajo cuando se deriva de ellos, pero cuando usted lo enchufa en números, ¿por qué los gráficos se vería que es desconcertante.
