¿Por qué el determinante es igual al índice?

Question

Dejemos que $A \subset B$ sean dominios integrales y supongamos que $B$ es un programa gratuito $A$ -de rango $m$ . Definir el discriminante de $m$ elementos $b_1,\dots,b_m\in B$ como $D(b_1,\dots,b_m)=\det(\operatorname{Tr}_{B/A}(b_ib_j))$ . Un resultado estándar dice que si $c_j=\sum a_{ji}b_i$ entonces $$D(c_1,\dots,c_m)=\det(a_{ij})^2 D(b_1,\dots,b_m).$$ Sin embargo, hay un resultado que no entiendo. Milne establece que si $A=\mathbb{Z}$ , entonces los elementos $\gamma_1,\dots, \gamma_m$ generar un submódulo $N$ de índice finito si y sólo si $D(\gamma_1, \dots, \gamma_m)\neq 0$ . Hasta aquí todo bien. Sin embargo, luego afirma que $$D(\gamma_1,\dots, \gamma_n)=(B:N)^2 \operatorname{disc}(B/\mathbb{Z}).$$ No veo cómo se relaciona el determinante de una matriz de cambio de base con el índice de un submódulo. ¿Podría alguien explicarlo?

Gracias. (NB: Esto es de la página 28 de las notas de Milne)

Answer 1

$\newcommand\ZZ{\mathbb{Z}}$ Supongamos que $\Gamma\subseteq\ZZ^n$ es un subgrupo de índice finito, por lo que es de hecho la imagen de algún mapa lineal $\ZZ^n\to\ZZ^n$ que, a su vez, viene dada por la multiplicación por una matriz $A\in M_n(\ZZ)$ .

Según la teoría de la forma normal de Smith, existen $P$ , $Q\in\mathrm{GL}_n(\ZZ)$ tal que $D=PAQ$ es diagonal. Es fácil ver que el índice de $\Gamma=A\ZZ^n$ es el mismo que el índice de $D\ZZ^n$ que se ve fácilmente que es el valor absoluto del producto de las entradas diagonales de $D$ que es lo mismo que $|\det D|$ . Desde $P$ y $Q$ tienen determinante $\pm1$ concluimos que el índice de $\Gamma$ es $|\det A|$ .