Hay en todas partes discontinuas función creciente?

Question

¿Existe una función de $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ que es estrictamente creciente y discontinuo en todas partes?

Mi línea de pensamiento (posiblemente incorrecta): sé que hay cada vez mayor de funciones tales como $f(x) = x$, y los hay en todas partes-funciones discontinuas tales como la función de Dirichlet. También sé que cuando hay una discontinuidad en un punto de $c$, hay un número finito de brecha $\epsilon$ ejemplo de que hay puntos de $d$ arbitrariamente cerca de $c$ tal que $|f(d) - f(c)| > \epsilon$. Aquí es donde mi pensamiento se presenta confuso - ¿tiene sentido tener una "brecha" en cada número real?

Answer 1

No hay tal función. Supongamos que $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ es estrictamente creciente. Para cada una de las $a\in\mathbb{R}$ vamos $f^-(a) =$ $\lim\limits_{x\to a^-}f(x)$ y $f^+(a) = \lim\limits_{x\to a^+}f(x)$. A continuación, $f$ es discontinua en a $a$ si y sólo si $f^-(a) < f^+(a)$. Deje $D = \{a\in\mathbb{R}:f\text{ is not continuous at }a\}$, y para cada una de las $a\in D$ deje $q_a$ ser un número racional en el no-vacío abierto intervalo de $I_a = (f^-(a),f^+(a))$.

No es difícil comprobar que si $a,b \in D$$a<b$,$f^+(a) \le f^-(b)$, por lo que los intervalos de $I_a$ son pares distintos. Esto implica que los números racionales $q_a$ son todos distintos. (Si quieres ser de lujo, la función de $D$ $\mathbb{Q}$que envía a $a$ $q_a$es inyectiva.) Pero sólo hay countably muchos números racionales, por lo que el conjunto de $D$ debe ser contable. En otras palabras, la función de $f$ puede tener en la mayoría de countably muchos puntos de discontinuidad. Y, por supuesto, $\mathbb{R}$ es incontable, por lo $f$ no puede ser discontinua en todas partes.

Answer 2

Otra forma de ver que es imposible tener una cantidad no numerable de estos "huecos" es en primer lugar, considerar la restricción de $f$ a un intervalo acotado $(a,b)$, donde es limitado. Si $\varepsilon>0$, el número de puntos en $(a,b)$ donde hay una brecha de tamaño mayor que $\varepsilon$ es finito, a menos de $\frac{1}{\varepsilon}(f(b)-f(a))$. Tomando countably muchos $\varepsilon$s va a cero le permite a la conclusión de que sólo hay countably muchas discontinuidades en $(a,b)$. Tomando countably muchos $(a,b)$s cuya unión es $\mathbb R$ le permite terminar.