Cómo demostrar que la siguiente función característica es definida positiva

Question

Dejemos que $\phi$ es la función característica de una medida de probabilidad sobre $\mathbb{R}$ ¿Cómo puedo probar $\sum_{i,j=1}^{n}{\phi(t_i-t_j)\bar{\phi}(t_i-t_j)\xi_i\bar{\xi_j}}\geq 0$ para todos $n\in\mathbb{N}$ , $\xi_1,\ldots,\xi_n\in\mathbb{C}$ y $t_1,\ldots,t_n\in\mathbb{R}$ ?

Ya conozco la prueba para $\phi$ pero aquí tenemos dos funciones del núcleo. ¿Puede alguien darme una pista?

Answer 1

Dejemos que $X$ y $Y$ son dos variables aleatorias independientes cuya función característica común es $\phi$ . Entonces la función característica de $X-Y$ es $t\mapsto \phi(t)\overline{\phi(t)}$ de ahí la no negatividad de $\sum_{i,j=1}^{n}{\phi(t_i-t_j)\bar{\phi}(t_i-t_j)\xi_i\bar{\xi_j}}\geqslant 0$ se deduce del hecho de que una función característica es semidefinida positiva.