¿Cuándo es coherente la gavilla correspondiente a un haz vectorial sobre una variedad suave?

Question

En geometría algebraica y analítica, los haces vectoriales suelen interpretarse como gavillas de módulos localmente libres (sobre las gavillas de estructura). Son, en particular, ejemplos de gavillas cuasi-coherentes. Si el haz es de rango finito, entonces la gavilla es realmente coherente y esto sirve para que ciertos grupos de cohomología tengan rango finito, por ejemplo.

Creo que la equivalencia de los haces vectoriales y las láminas localmente libres también es válida para las categorías de espacios topológicos y de variedades suaves, y las láminas localmente libres son, en particular, casi coherentes. La pregunta es: ¿cuándo son coherentes? Quizá sea mejor preguntar primero por la propia gavilla estructural. En geometría algebraica, el haz de estructuras es coherente para los esquemas neotéricos, y en geometría analítica, el haz de estructuras de una variedad compleja es coherente. ¿Qué ocurre, por ejemplo, con las variedades lisas?

Answer 1

Como la coherencia es una propiedad local y se preserva mediante sumas directas finitas, la cuestión general se reduce a la gavilla de estructura. Pero esto es coherente sólo en casos triviales.

Si $M$ es una variedad lisa cuyas componentes conectadas tienen dimensión positiva, entonces $C^{\infty}_M$ no es coherente.

Para una prueba, véase la proposición 7.3.8 en el notas del curso de Andrew Lewis sobre la teoría de gavillas. Por un argumento de proyección, basta con tratar $M=\mathbb{R}$ . Si $f$ es una función suave, que es $>0$ en $\mathbb{R}_{>0}$ y $=0$ en $\mathbb{R}_{\leq 0}$ entonces el núcleo del mapa de multiplicación $f : C^{\infty}_{\mathbb{R}} \to C^{\infty}_{\mathbb{R}}$ no es de tipo finito: El botín en el tallo en $0$ . El núcleo $I$ viene dada por aquellos gérmenes de funciones suaves que desaparecen en $\mathbb{R}_{\geq 0}$ . Si $\mathfrak{m}$ es el ideal máximo de las funciones que desaparecen en $0$ entonces tenemos $I = \mathfrak{m} I$ por la expansión de Taylor. Dado que $I \neq 0$ El lema de Nakayama muestra que $I$ no está generada finitamente.

Answer 2

Si se utilizan los funtores [gavilla de secciones continuas] y [espacio etale] no dan una equivalencia de estas categorías. El problema es que las gavillas localmente constantes son espacios de cobertura, y los haces vectoriales no son espacios de cobertura. Ni siquiera son (topológicamente) etale en general sobre el espacio base.

Llamar coherente a una gavilla sobre un espacio que no es un esquema es una tontería, ya que [la definición de coherencia] utiliza implícitamente la gavilla de estructura del espacio. Un colector no tiene realmente una gavilla de estructura (sí tiene una gavilla natural de funciones suaves, pero no sé si tiene mucho sentido hablar de módulos coherentes sobre dicha gavilla de anillos, ya que no creo que haya una forma buena, canónica y functorial de tomar un módulo de la sección global y "ponerle la tilde" (para usar la notación de Hartshorne) en una gavilla).