Supongamos $n$ es un entero positivo tal que $3n+1$ $4n+1$ ambos son cuadrados perfectos , entonces ¿cómo podemos demostrar que $7|n$ ?
Respuesta
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Anthony Shaw
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Supongamos $x^2=3n+1$$y^2=4n+1$. A continuación, $$ 4x^2-3y^2=1 $$ El uso de fracciones continuas, nos encontramos con las soluciones de esta ecuación son $(x_k,y_k)$ donde $$ \begin{align} (x_0,y_0)&=(1,1)\\ (x_1,y_1)&=(13,15)\\ (x_k,y_k)&=14(x_{k-1},y_{k-1})-(x_{k-2},y_{k-2}) \end{align} $$ Mirando a $(x_k,y_k)\text{ mod }7$, vemos $$ \begin{align} (x_0,y_0)&=(1,1)\\ (x_1,y_1)&=(-1,1)\\ (x_k,y_k)&=-(x_{k-2},y_{k-2}) \end{align} $$ Por lo tanto, $x_k^2\equiv y_k^2\equiv1\pmod{7}$ y por lo tanto, $n\equiv0\pmod{7}$.
La solución de la ecuación de Pell con Fracciones continuas
Cuando la resolución de $4x^2-3y^2=1$, queremos $\frac yx$ a subestimar $\frac2{\sqrt3}$.
La continuación de la fracción de $\frac2{\sqrt3}$$(1;\overline{6,2})$: $$ \begin{array}{c|c} \frac{2\sqrt3}{3}&2\sqrt3+3&\frac{2\sqrt3+3}{3}&2\sqrt3+3\\ \hline\\ 1&6&2&\dots\\ \end{array} $$ Por lo tanto, la convergents son $$ \begin{array}{c|c} &&&1&6&2&6&2\\ \hline y_k&0&1&\color{#C00000}{1}&7&\color{#C00000}{15}&97&\color{#C00000}{209}\\ \hline x_k&1&0&\color{#C00000}{1}&6&\color{#C00000}{13}&84&\color{#C00000}{181}\\ \hline k&&&0&1&2&3&4 \end{array} $$ La subestima en rojo (aun $k$).
Debido a la alternancia de continuants, para $k\gt0$, tenemos $$ a_{2k}=2a_{2k-1}+a_{2k-2}\quad\text{ y }\quad a_{2k-1}=6a_{2k-2}+a_{2k-3} $$ lo que conduce a una recursividad para la subestima: $$ a_{2k}=14a_{2k-2}-a_{2k-4} $$ donde $a_k=(x_k,y_k)$.
