Demostrar que $\sqrt[3]5 - \sqrt[4]3$ es Irracional

Question

He ido muchas direcciones y que todos fallan.

La suma de dos irrationals no necesita ser irracional.

He encontrado una prueba diciendo: si irracionales $x,y$ tiene un racional suma $x+y$, $x-y$ es irracional, o viceversa. Sin embargo, en este caso $x+y$ $x-y$ son irracionales. Debo haber malinterpretado la prueba tal vez.

Es la suma y diferencia de dos irrationals siempre irracional?

Reconozco $n\in\Bbb Q\implies \exists a,b\in\Bbb Z~(b\neq 0) : n=\dfrac ab$

También el producto de un racional y un número irracional son irracionales por lo $a = b(\sqrt[3]5 - \sqrt[4]3)$ donde $a,b\in \mathbb{Z}$. He mirado en base a esto, pero hasta ahora infructuosos.

Gracias, Julian

Answer 1

El polinomio mínimo de más de $\mathbb{Q}$ $\alpha=\sqrt[3]{5}$ $p_{\alpha}(x) = x^3-5$ y el mínimo de polinomio sobre$\mathbb{Q}$$\beta=\sqrt[4]{3}$$p_{\beta}(y)=y^4-3$. Monomials de la forma $x^{u}y^{v}$ $0\leq u\leq 2$ $0\leq v\leq 3$ dar una base de $\mathbb{Q}[x,y]_{/(x^3-5,y^4-3)}$. Si representamos $(x-y)^{m}$$0\leq m\leq 12$, con respecto a una base, obtenemos, por eliminación Gaussiana, un polinomio con grado de $12$ y racional de los coeficientes que se desvanece cuando se evalúa a $\alpha-\beta$. Un polinomio es:

$$ q(x) = x^{12}-20 x^9-9 x^8 +150 x^6-720 x^5+27 x^4-500 x^3-2250 x^2-540 x+598.$$ Desde $598=2\cdot 13\cdot 23$, mediante la comprobación de que $q$ no se desvanecen en el conjunto $$ \left\{\pm 1, \pm 2,\pm 13,\pm 23, \pm 26,\pm 46,\pm 299,\pm 598\right\}$$ tenemos, por el racional de la raíz teorema, que $q$ no tiene raíces en $\mathbb{Q}$, por lo tanto $\alpha-\beta\not\in\mathbb{Q}$ como quería.

Podemos acelerar la última fase al darse cuenta de que $\left|\alpha-\beta\right|<1$, por lo tanto $\alpha-\beta$ no pertenecen a la serie anterior, como se ha señalado por achille hui en los comentarios.

Answer 2

Otro enfoque, a pesar de que me gusta @AchilleHui comentario de un montón:

Escribir $\lambda^3=5$, $\mu^4=3$, y deje $a=\lambda-\mu$, lo que queremos mostrar es irracional. Suponiendo que la racionalidad de $a$, obtenemos: \begin{align} 3=\mu^4&=(\lambda-a)^4\\ &=5\lambda-20a+6a^2\lambda^2-4a^3\lambda+a^4\\ 0&=(a^4-20a-3)\,+\,(5-4a^3)\lambda\,+\,(6a^2)\lambda^2\,. \end{align} Observe que las tres cantidades entre paréntesis son racionales (suponiendo que $a$ es racional), y con el conocimiento de que $\{1,\lambda,\lambda^2\}$ $\Bbb Q$- linealmente independientes conjunto, se puede ver que $6a^2=0$, una contradicción, ya que $\lambda\ne\mu$.