Deje $A$ ser un abierto no vacío es subconjunto de a $\mathbb{R}$.
Considere una función de $f : A \rightarrow \mathbb{R}$. Dado que el $f$ es continua, ¿cuál es la probabilidad de que sea diferenciable? Yo sospecho que es $0$.
Respuesta
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Hay un sentido preciso en el que la respuesta a su pregunta es "$0$".
Nos deja denotar por $ND$ el conjunto de todas continua diferenciable, funciones, por ejemplo, en el intervalo de $[0,1]$, y por $\mathcal C([0,1]$ el espacio de Banach de todas las funciones continuas en $[0,1]$. Entonces, se puede demostrar que $SD:=\mathcal C([0,1])\setminus ND$ (el conjunto de todas las funciones que están en algún lugar diferenciable) es un "Haar-null", lo que significa que existe una Borel probabilidad de medida $\mu$ $\mathcal C([0,1])$ tal que $$\forall f\in\mathcal C([0,1])\;:\; \mu(f+SD)=0\, .$$
Aquí, "$\mu(E)=0$" para, posiblemente, no Borel set $E$ significa que $E$ está contenida en un conjunto de Borel $\widetilde E$ tal que $\mu(\widetilde E)=0$. (Esta observación es necesaria porque el $SD$ es no Borel en $\mathcal C([0,1])$).
Por lo tanto, en este sentido, una función continua es diferenciable, "con una probabilidad de $1$".
Para una prueba de este resultado, este es el original en papel por Hunt: http://www.ams.org/journals/proc/1994-122-03/S0002-9939-1994-1260170-X/S0002-9939-1994-1260170-X.pdf
