Si $\lim\limits_{x \to \pm\infty}f(x)=0$ ¿implica que $\lim\limits_{x \to \pm\infty}f'(x)=0$ ?

Question

Supongamos que $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ es diferenciable en todas partes y

1. $\lim_{x \to \infty}f(x)=\lim_{x \to -\infty}f(x)=0$ ,
2. existe $c \in \mathbb{R}$ tal que $f(c) \gt 0$ .

¿Podemos decir algo sobre $\lim_{x \to \infty}f'(x)$ y $\lim_{x \to -\infty}f'(x)$ ?

Estoy tentado de decir que $\lim_{x \to \infty}f'(x)$ = $\lim_{x \to -\infty}f'(x)=0$ .

Empecé con lo siguiente, pero no estoy seguro de que sea el enfoque correcto, $$\lim_{x \to \infty}f'(x)= \lim_{x \to \infty}\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$

Answer 1

No. Inténtalo $f(x)=\sin(x^a)/x$ para distintos valores de $a$ .

Answer 2

Dato clave: a escalas pequeñas, puede cambiar enormemente la derivada de una función sin cambiar mucho sus valores. Puedo introducir un pequeño meneo en una curva que apenas se note en tamaño, pero muy acusado en derivada.

Añade unos pequeños meneos arbitrarios a lo largo de una función decreciente de tu elección y obtendrás una función que decrece pero cuya derivada sigue aumentando.

Como pista más concreta, consideremos una función diferenciable $f$ tal que $|f(x)| < 1$ para todos $x$ y toma $g(x) = \frac{1}{2}f(2x)$ . Entonces $g(x)$ tiene $|g(y)| < \frac{1}{2}$ para todos $y$ Así que $g$ toma valores menores que $f$ pero $g'(z) = f'(2z)$ por lo que la derivada de $g$ se hace tan grande como la derivada de $f$ .

Esto demuestra que funciones muy pequeñas pueden tener, sin embargo, derivadas muy grandes.

Answer 3

Para corregir un intento incorrecto, deje que $f(x) = e^{-x^2} \cos(e^{x^4})$ , así que

$\begin{align}f'(x) &= e^{-x^2} 4 x^3 e^{x^4}(-\sin(e^{x^3})) -2x e^{-x^2} \cos(e^{x^3})\\ &= -4 x^3 e^{x^4-x^2} \sin(e^{x^3}) -2x e^{-x^2} \cos(e^{x^3})\\ \end{align} $

En $e^{x^4-x^2}$ término hace $f'(x)$ oscilar violentamente y sin límites como $x \to \pm \infty$ .