Supongamos que $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ es diferenciable en todas partes y
- $\lim_{x \to \infty}f(x)=\lim_{x \to -\infty}f(x)=0$ ,
- existe $c \in \mathbb{R}$ tal que $f(c) \gt 0$ .
¿Podemos decir algo sobre $\lim_{x \to \infty}f'(x)$ y $\lim_{x \to -\infty}f'(x)$ ?
Estoy tentado de decir que $\lim_{x \to \infty}f'(x)$ = $\lim_{x \to -\infty}f'(x)=0$ .
Empecé con lo siguiente, pero no estoy seguro de que sea el enfoque correcto, $$\lim_{x \to \infty}f'(x)= \lim_{x \to \infty}\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$