Cuando la aplicación de Cardano las fórmulas, usted debe tomar en ramas específicas de la cuadrada y la raíz cúbica de funciones. También, tenga en cuenta que la raíz cuadrada de 108 es justs un único valor; mientras que $x^2 - 108=0$ tiene dos (real) de las soluciones, la expresión $\sqrt{108}$ es un solo valor: la solución no negativa a $x^2-108=0$.
En cualquier caso, recuerde que si usted tiene un deprimido cúbicos, $x^3 + px + q = 0$, se presentan dos variables $u$ $v$ sujeto a la condición de que $u+v = x$$3uv + p = 0$. Esto requiere que el producto de $u$ $v$ a ser un número real. Finalmente, se llega a $u$ $v$ siendo la raíz cubica en cuestión.
Pero recuerde que usted está asumiendo que $uv$ es un número real. Esta es la razón por la que usted no puede simplemente tomar todas las combinaciones posibles con todas las posibles raíces. En otras palabras, todos aquellos "otros valores" de $u+v$ son valores que no satisfacen el sistema de ecuaciones se tiene:
\begin{align*}
(u+v)^3 + p(u+v) + q &=0\\
3uv + p &=0
\end{align*}
No hay ninguna notación general que indica que las ramas de los valores complejos cúbicos y las funciones de raíz cuadrada debe tomar, usted sólo tiene que recordar que el producto de las dos raíces cúbicas tiene que ser un número real. Esto es lo que reduce de nueve a tres valores.
Hay una forma estándar de listado de todas las soluciones: una vez que encuentre un valor de $u$ $v$ tal que $uv$ es un número real, entonces las tres soluciones están dadas por $u+v$, $\omega u + \omega^2 v$, y $\omega^2u + \omega v$ donde $\omega = -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ es una primitiva raíz cúbica de la unidad. (Observe que si $u$ es un valor de la raíz cúbica, y luego los otros dos valores de $\omega u$$\omega^2u$, e igualmente con $v$).
Parece que no eres muy consciente de todos los supuestos que se están haciendo acerca de $u$ $v$ cuando se utilice la fórmula de Cardano. Para una cosa, si se revisa la derivación de la fórmula, por ejemplo, en Wikipedia, verás que la condición de que $3uv+p=0$ es trabajado en la derivación. Aquí está el método: recuerde que $x=u+v$ se supone para ser una solución de
$$x^3 + px + q = 0.$$
Conectar y hacer un poco de trabajo, obtenemos:
\begin{align*}
0 &= (u+v)^3 + p(u+v) + q\\
&= u^3 + 3u^2v + 3uv^2 + v^3 + p(u + v) + q\\
&= u^3 + v^3 + 3uv(u+v) + p(u+v) + q\\
&= u^3 + v^3 + (3uv+p)(u+v) + q.
\end{align*}
Es en este punto que la condición adicional $3uv+p=0$ es introducido, de modo que la ecuación se reduce a $u^3+v^3 + q = 0$,$u^3+v^3 = -q$, e $(uv)^3 = -\frac{p^3}{27}$. Ahora, recuerde que si $a$ $b$ son dos números, a continuación,$(z-a)(z-b) = z^2 - (a+b)z + ab$, lo $a$ $b$ siempre son las raíces de la ecuación cuadrática que tiene lineal coeficiente de menos la suma de los mismos, y el coeficiente constante de su producto. Aplicando esto a $u^3$$v^3$, ya que sabemos que su suma y su producto, podemos deducir que $u^3$ $v^3$ son las dos raíces de la ecuación cuadrática:
$$z^2 +qz - \frac{p^3}{27}=0$$
y a partir de esto, el uso de la fórmula cuadrática, obtenemos que
$$u^3 = -\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}, \qquad v^3 = -\frac{q}{2} - \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}.$$
Por lo tanto,
$$u = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}},\qquad v = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}},$$
de modo que la solución de $x$ está dado por la fórmula:
$$x = u+v = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}}.$$
Pero la suposición de que $3uv+p=0$ fue instrumental en la obtención de esta fórmula. El hecho de que usted escribe que $x$ es igual a la suma de las dos raíces cúbicas ya se supone que el producto de los dos (valores complejos) cúbicos raíces será un número real, específicamente, $-\frac{p}{3}$.
Mientras que tal vez no han hecho que la suposición de que, conscientemente, Cardano ciertamente lo hizo, y mediante su fórmula también está haciendo la suposición, si eran conscientes de ello o no.
