Elementos en la clase GACION y en el centralizador de un ciclo de m en Am

Question

Supongamos que m>1 ser un número natural impar, x a m-ciclo en Am, la alternancia de grupo en m letras, C de la clase conjugacy de x en la mañana.

Questiom: ¿Cómo puedo describir los elementos del conjunto { j | x^j en C} en términos de m?

Por ejemplo, si C' es la clase conjugacy de x en el Sm, el grupo simétrico de m letras, entonces { j | x^j en C} = { j | (j,m)=1 }, donde (j,m) = máximo común divisor de j y m. Pero en Am, C' se divide en dos clases conjugacy de la mañana del mismo tamaño: la C y la clase conjugacy de (1 2)x(1 2) en la mañana.

Gracias de antemano. Fernando.

Answer 1

El conjunto es el cuadrática de los residuos al $m$ es primo, pero no suele ser al $m$ es compuesto. Por ejemplo, $(0,1,2,3,4,5,6,7,8)$ es conjugado a $(0,2,4,6,8,1,3,5,7)$ $A_9$ aunque $2$ no es un cuadrado mod $9$, por lo que no hay ninguna condición adicional más allá de $(j,9)=1$.

Para $m$ impar, el signo de la permutación en $\mathbb Z/ m\mathbb Z$ de la multiplicación por $j$ es el símbolo de Jacobi $\big(\frac jm\big)$. (Esta perspectiva en el símbolo de Jacobi es natural de uno de Gauss, las pruebas de la reciprocidad cuadrática, pero también teorema 1 aquí. Ver también Zolotarev del lexema.) Puesto que hay dos clases conjugacy de $m$-ciclos en $A_m$, $\big(\frac jm\big)=+1$ iff $x$ es conjugado a $x^j$$A_m$.

Answer 2

Gracias, Douglas.

Con la notación dando anterior y que el dar en el papel de Marek Szyjewski (que se refiere a mí), las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1) x^j en C, 2) sgn(lambda_ j )=1, 3) J(j,m)=1, J el símbolo de Jacobi.

1) <=> 2) es fácil (yo lo he chequed). 2) <=> 3) es Teori. 1 el papel de Marek Szyjewski. Este es un unplubished artículo, sin embargo. Yo no tenía tiempo para chequed todos de ella, sólo he chequed el Caso 1, pero supongo que el Caso 2 y 3 son correctas.(?)

Estoy interesado en el caso m=3 p, con p>3 prime. Necesito demostrar que existen j, con j mod 3 =2, tal que x^j en C. Esto equivale a demostrar que no existe j, 0< j < m, tal que: -) ( j,m)=1, -) j mod 3 =2 (es decir, J( j,3)= -1), -) J( j,p)= -1, porque J( j,m)=J( j,3) J( j,p).

¿Tiene usted alguna idea de por que?

Gracias de antemano.