Derivado de Schwarzian y dinámica unidimensional - ¿cómo están conectados?

Question

Durante el verano, hice una REU en donde nos enfocamos principalmente en una dimensión dinámica y más específicamente de amasamiento de la teoría. Una cosa que yo siempre estaba confundido acerca es la razón por la Schwarzian derivados siempre parecen surgir en los debates de afirmar la dinámica en la recta real. Entiendo lo que es un Schwarzian derivada es, pero no veo ninguna razón intuitiva que se debe mostrar en esta área.

Me preguntaba si alguien podría explicar o darme una referencia que hace que la aparición de Schwarzian derivados en una dimensión dinámica en la línea real que parecen naturales.

Otra pregunta que tengo, es que hay una intuitiva motivación para el Schwarzian derivados de la misma?

Answer 1

Este es otro teorema que tiene una relación entre Schwarzian Derivados y Sistemas Dinámicos de la Cantante.

Deje $I$ un estrecho intervalo y $f:I \to I$ de la clase $C^3$ $S(f)(x)<0$ todos los $x \in I$, qhere $S(f)(x)$ representan el Schwarzian derivados. Si $f$ $n$ puntos críticos, a continuación, $f$ tiene más de $n+2$ atracción de órbitas periódicas.

Esta es la versión completa del teorema. Espero que sea útil para usted.Saludos.

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Editar:

El Schwarzian derivados fue introducido en la verdadera dinámica de la Cantante en

David Singer, Estable de las Órbitas y la Bifurcación de los Mapas del Intervalo, SIAM Journal on de Matemática Aplicada Vol. 35, Nº 2 (Sep., 1978), pp 260-267.

Answer 2

No tengo ninguna razón intuitiva para tu pregunta, pero tengo un muy poderoso teorema acerca de la Schwarzian Derivados y Sistemas Dinámicos.

Deje $f:[a,b] \to \mathbb{R}$$C^3$. Supongamos que $f'(x)\neq 0$ todos los $x \in [a,b]$. Supongamos también que $S(f)(x) <0$ todos los $x \in [a.b]$. Si $f$ tiene sólo un número finito de puntos críticos, a continuación, para cada $n \in \mathbb{N}$ tenemos que $f$ tiene sólo un número finito de órbitas periódicas con período de $n$.

Esta es una versión débil del teorema, pero me miro en mis libros y me dará la versión fuerte en un par de días. Este teorema que tiene una relación entre Schwarzian Derivados y Sistemas Dinámicos, espero que sea útil para usted.