¿Existe un dominio integral tal que ninguno de sus elementos irreducibles sea primo?

Question

¿Existe algún dominio integral tal que ninguno de sus elementos irreducibles sea primo?

Recordemos que un elemento no nulo y no invertible $a$ de un dominio integral $D$ se dice

• Irreductible si para todo $b,c\in D$ tal que $a=bc$ entonces $b$ o $c$ es una unidad en $D$ .
• Prime si para todo $b,c\in D$ tal que $a$ divide $bc$ entonces $a$ divide $b$ o $a$ divide $c$ .

Claramente primo implica irreducible. Lo contrario no es cierto en general, pero es válido cuando $D$ es un UFD. Obviamente estas nociones son vacuamente equivalentes si $D$ no tiene elementos irreducibles (véase aquí para ver ejemplos).

Resumiendo, quiero saber si existe algún dominio integral con al menos un elemento irreducible, pero sin elementos primos.

Answer 1

He encontrado este documento que en el ejemplo 2.2 (d) (página 4) afirma que $K[[X^2,X^3]]$ es un dominio integral sin elementos primos pero con muchos elementos irreducibles, para cualquier campo $K$ .

Answer 2

Sugerencia $ $ Los irreductibles de $\,\Bbb Q+x\Bbb R[[x]]\,$ son $\,rx\ne 0,\,r\in \Bbb R.\,$ Pero $\,rx\mid (\pi rx)^2,\,\ rx\nmid \pi r x\,$ por $\,\pi\not\in\Bbb Q$

Answer 3

Desgraciadamente no tengo rep para comentar tu respuesta anterior, pero sólo quería señalar que este ejemplo es muy similar a otro ejemplo interesante de propiedades de factorización.

Mirando a $R=\mathbb{R}[X^2,X^3]$ . Es atómico en el sentido de que cada no unidad distinta de cero tiene una factorización en irreducibles, pero las longitudes de estas factorizaciones pueden variar. Esto sería imposible para una factorización en primos. En un dominio, si un elemento tiene dos factorizaciones en primos, deben ser únicas hasta el reordenamiento y la asociación.

Consideremos las factorizaciones del elemento $X^6=X^2\cdot X^2 \cdot X^2 = X^3 \cdot X^3$ son dos factorizaciones en irreducibles. La primera de longitud 3 y la segunda de longitud 2. ( $X^3$ y $X^2$ son irreducibles ya que $X \notin R$ ). Este es un ejemplo de un dominio de factorización acotado que no llega a ser un medio dominio de factorización.