minimizar una función utilizando la desigualdad AM-GM

Question

Quiero minimizar la función

$$ \frac{x}{1-x^2} + \frac{y}{1-y^2} + \frac{z}{1-z^2} $$ sujeto a la restricción $$x^2 + y^2 + z^2 = 1 \space\text{and} \space x,y,z > 0$$

Wolfram Alpha me dice que el mínimo se produce en $(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{3\sqrt{3}}{2})$ . Intenté resolver esto sin usar los multiplicadores de Lagrange usando AM-GM y Cauchy-Schwarz, pero no pude averiguar cómo hacerlo y estoy interesado en una solución.

Answer 1

Podemos escribir la desigualdad a demostrar como $$\frac{x}{1-x^2}+\frac{y}{1-y^2}+\frac{z}{1-z^2}\ge \frac{3\sqrt3}2 \tag{$\star$}$$ Como la igualdad se logra para $x=y=z=\frac1{\sqrt3}$ Si $(\star)$ sostiene entonces que hemos establecido el mínimo.

Considere la función $f(t) = \dfrac{t}{1-t^2}-\frac{\sqrt 3}2 -\frac{\sqrt 3}2(3t^2-1)$ . Para demostrar la desigualdad $(\star)$ es suficiente para demostrar que $f(t)\ge 0$ ya que la desigualdad es equivalente a $f(x)+f(y)+f(z) \ge 0$ .

Ahora $f(t) = \dfrac{t(3\sqrt3 t^3-3\sqrt3t+2)}{2(1-t)(1+t)}$ por lo que basta con demostrar que $3\sqrt3 t^3+2 \ge 3\sqrt3t$ para $t \in (0, 1)$ . Pero esto se deduce de AM-GM como $3\sqrt3t^3+1+1 \ge 3\left(3\sqrt3 t^3 \times 1 \times 1 \right)^{1/3}=3\sqrt3t$ .

Answer 2

Una pista: Prueba con coordenadas polares: $$\begin{align} x &= \sin a \sin b\\ y &= \sin a \cos b\\ z &= \cos a\\ 0&\le a,b \le \frac\pi 2 \end{align}$$