¿Existe un subconjunto conectado por el camino de $\mathbb R^2$ tales que cualquier camino que conectar 2 puntos distintos en ese subconjunto tiene longitud infinita? Me han dicho que hay tal sistema, pero no saben lo que es. Gracias.
Respuestas
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La gráfica de cualquier continua diferenciable, la función $\mathbb R\to\mathbb R$ es un ejemplo (o de cualquier función continua que no es de variación acotada en cualquier subinterval).
Si $f:[a,b]\to\mathbb R$ es de variación acotada, entonces $f'$ existe en$(a,b)$, excepto en un conjunto de medida $0$. Por lo tanto si $f:\mathbb R\to\mathbb R$ es diferenciable, entonces la $f$ no es de variación acotada en cualquier subinterval.
Supongamos que $f:\mathbb R\to\mathbb R$ es continua y diferenciable. A continuación, $G=\{(x,f(x)):x\in\mathbb R\}\subset \mathbb R^2$ es la ruta de acceso conectado, y si $a<b$, entonces la longitud de la ruta en $G$ conectar $(a,f(a))$ $(b,f(b))$está acotado abajo por el total de la variación de $f$$[a,b]$, por lo tanto es infinito.
Agregó
Ejercicio 26 en el Capítulo 3 en la página 49 de Wheeden y Zygmund de la Medida y la integral da un indicio de un camino para la construcción de una función continua en a $[0,1]$ que no es de variación acotada en cualquier subinterval, sin ninguna referencia a la diferenciación, mediante una modificación de la construcción de la función de Cantor.
Sólo me miró a los ejemplos Gerry se refiere, y el tercer ejemplo es esencialmente el mismo que el original ejemplo que me dio el día de ayer (después de su respuesta). Pero el ejercicio de Wheeden y Zygmund da un camino para la construcción de un ejemplo un poco diferente de los mencionados en el Gelbaum y Olmsted, con la posible excepción de en el ejemplo de Carathéodory del libro (no sé lo que es).
user8269
Puntos
46
Gelbaum y Olmsted, contraejemplos en análisis, capítulo 10, #18: "Un arco sencillo que es de longitud infinita entre cada par de puntos distintos en el arco" (Página 141) da cuatro ejemplos. Por desgracia, cada uno se refiere a ejemplos anteriores (o, en un caso, en la página 190 en un libro alemán de Caratheodory de 1927), por lo que es demasiado largo para escribir cualquiera de los ejemplos aquí. Pero el estudiante que esté interesado en ejemplos raros no encontrará un mejor recurso que Gelbaum y Olmsted.
