Traza de una matriz de operador (computación cuántica e información cuántica)

Question

Estoy leyendo el libro de información de cómputo y quantum de Quantum por Mike & Ike y estoy atrapado en el 2.60/2.61. Allí, el autor dice que, dado el operador $A|ψ⟩⟨ψ|$, su traza es:

$${\rm tr}(A|\psi\rangle\langle\psi|) = \sum\limits_i\langle i|A|\psi\rangle\langle\psi|i\rangle$$

¿Por qué sería verdad? ¿Por qué podemos nosotros reorganizar los sujetadores y mercados como eso?

Answer 1

1. Deje $\{|i\rangle\}$ ser un ortonormales base para el espacio de Hilbert del sistema. Entonces la traza de un operador $O$ está dada por (Véase el Apéndice a continuación) \begin{align} \mathrm {tr}(O) = \sum_i \langle i|O|i\rangle \end{align}

2. Para un estado determinado $|\psi\rangle$, podemos definir un operador $P_\psi$ por \begin{align} P_\psi|\phi\rangle = \langle\psi|\phi\rangle|\psi\rangle. \end{align} Como una taquigrafía, usualmente escribimos $P_\psi = |\psi\rangle\langle\psi|$.

3. Mediante los pasos 1 y 2, se calcula: \begin{align} \mathrm{tr}(A|\psi\rangle\langle\psi|) &= \mathrm{tr}(A P_\psi) \\ &= \sum_i \langle i|AP_\psi|i\rangle\\ &= \sum_i \langle i|A (\langle\psi|i\rangle|\psi\rangle)\\ &= \sum_i \langle i|A|\psi\rangle\langle\psi|i\rangle \end{align} cual es el resultado deseado.

Adenda. (Fórmula para el seguimiento)

Para simplificar, voy a restringir el debate a lo finito-dimensional espacios vectoriales. Recordar que si $O$ es un operador lineal en un espacio vectorial $V$, y si $ \{|i\rangle\}$ es una base para $V$, entonces los elementos de la matriz $O_{ij}$ $O$ con respecto a esta base se definen por su acción sobre esta base, de la siguiente manera: \begin{align} O|i\rangle = \sum_jO_{ji}|j\rangle. \tag{%#%#%} \end{align} La traza de la linealidad del operador con respecto a esta base se define como la suma de las entradas de su diagonal; \begin{align} \mathrm{tr}(O) = \sum_i O_{ii}. \tag{%#%#%} \end{align} Ahora resulta que el rastro es una base independiente del número, por lo que puede referirse simplemente a la traza de la que el operador lineal; es sólo la traza con respecto a cualquier base.

Ahora, supongamos que el $\star$ está equipada con un producto interior, como en el caso de los espacios de Hilbert, y deje $\star\star$ ser un ortonormales base para $V$, entonces podemos tomar el producto interior de ambos lados de $\{|i\rangle\}$ con respecto a un elemento $V$ de la base para obtener \begin{align} \langle k|O|i\rangle = \sum_j \langle k|O_{ji}|j\rangle = \sum_j O_{ji}\langle k|j\rangle = \sum_jO_{ji}\delta_{jk} = O_{ki} \end{align} En otras palabras, $(\star)$ da, precisamente, el elemento de la matriz $|k\rangle$ $\langle k|O|j\rangle$ en la base. En particular, la diagonal entradas están dadas por $O_{kj}$. Conectando a $O$, obtenemos \begin{align} \mathrm{tr} (O) = \sum_i \langle i|O|i\rangle \end{align} como se desee.