¿Por qué requerimos que un espacio topológico esté cerrado bajo la intersección finita?

Question

En la definición de espacio topológico, requerimos que la intersección de un número finito de conjuntos abiertos sea abierta, mientras que requerimos que la unión arbitraria de conjuntos abiertos sea abierta. ¿Por qué es esto?

Estoy asumiendo que esto tiene algo que ver con la siguiente observación: $\cap_{n=1}^{\infty} (-\frac{1}{n},\frac{1}{n}) = \{0\}$ y hay alguna razón por la que no queremos que los singletons se consideren abiertos, me pregunto cuál es esa razón. ¿Estoy pensando en la dirección correcta aquí?

¡Gracias! :)

Answer 1

Necesitas pensar en cuál es la intuición detrás de los conjuntos abiertos. Una forma de pensar en ello es a través de los vecindarios: un conjunto abierto es un conjunto que es un vecindario de cada uno de sus puntos. ¿Qué es un vecindario de un punto? Un vecindario de un punto $x$ es un conjunto que contiene todos los puntos que están "suficientemente cerca" de $x$ (¿qué significa "suficientemente cerca"? Depende de la situación; podrías pensar en diferentes vecindarios que especifican diferentes grados de cercanía). En particular, cualquier conjunto que contenga un vecindario de $x$ es en sí mismo un vecindario de $x. Y especificar dos grados de cercanía especifica otro grado de cercanía que tiene sentido (el menor de los dos en cualquier lugar dado, por ejemplo).

Así que: si piensas en los conjuntos abiertos como conjuntos que son vecindarios de todos los puntos que contienen, entonces es natural que la unión de cualquier familia de conjuntos abiertos sea abierta: cada punto en la unión es uno de los conjuntos abiertos, y ese conjunto abierto es un vecindario, y la unión contiene ese vecindario y por lo tanto es también un vecindario. Así que la unión arbitraria de conjuntos abiertos debería seguir siendo abierta.

¿Qué pasa con la intersección? Bueno, si tomas dos conjuntos abiertos $O_1$ y $O_2$, y consideras un punto $x$ en $O_1\cap O_2$, entonces $O_1$ contiene todos los puntos que están "1-suficientemente" cerca de $x$, y $O_2$ contiene todos los puntos que están "2-suficientemente" cerca de $x (con "1-suficientemente" y "2-suficientemente" describiendo los dos grados de cercanía requeridos), entonces $O_1\cap O_2$ contendrá todos los puntos que están tanto "1-suficientemente" como "2-suficientemente" cerca de $x, por lo que contiene todos los puntos que están "suficientemente cerca" de $x$ para algún significado de "suficientemente cerca", por lo tanto también es un conjunto abierto. Esto te da, de manera inductiva, cualquier intersección finita.

Pero ¿qué pasa con intersecciones arbitrarias? Ahí es donde te metes en problemas, porque especificar dos grados de "cercanía" te da un grado de cercanía (el menor), ¡pero un número infinito de grados de cercanía podría terminar por excluirlo todo! (Así como en tu ejemplo, tomando la intersección de todos los $(-\frac{1}{n},\frac{1}{n})$, que especifican todos los puntos que están $\frac{1}{n} cerca de $0$, pero la intersección excluye todo). Por lo tanto, no queremos requerir que la intersección arbitraria de vecindarios sea un vecindario, y por lo tanto no queremos requerir que la intersección arbitraria de conjuntos abiertos sea un conjunto abierto.

Answer 2

Si lo piensas en el caso de la topología en la recta real - tan pronto como dejamos la restricción de las intersecciones finitas obtendríamos singletons como has visto.

Sin embargo, cualquier conjunto de números reales es una unión de singletons que es $$A= \bigcup_{x\in A} \{ x \}. $$ Se seguiría que

cada conjunto sería abierto

cada conjunto sería cerrado

solo los conjuntos finitos serían compactos

cada función $f:\mathbb{R}\to X$ sería continua, etc...

(¡Gracias Jonas!)

Answer 3

Creo que uno debería haber jugado con espacios métricos antes de lidiar con espacios topológicos.

La intersección finita de bolas abiertas centradas en $x$ es nuevamente una bola abierta; el radio es simplemente el mínimo de los finitamente muchos radios. Pero si tomas infinitas bolas, el radio es el ínfimo de infinitos números positivos, que en muchas situaciones será $0$ (por ejemplo, si los radios son $1/n$). Un argumento similar muestra que no se puede probar en general que una intersección infinita de subconjuntos abiertos en un espacio métrico sea nuevamente abierto.

Dado que los espacios topológicos son la generalización natural de los espacios métricos (reemplazando distancias concretas por el concepto de vecindarios), lo mismo es cierto para los espacios topológicos y en la definición solo se permiten intersecciones finitas de conjuntos abiertos.

Answer 4

No es que exijamos que los conjuntos abiertos sean cerrados bajo intersecciones finitas...

Las definiciones no se inventan de la nada: la gente tenía espacios topológicos mucho antes de que alguien pensara en crear la definición de espacios topológicos y en los ejemplos que tenían disponibles, los conjuntos abiertos eran cerrados bajo intersección finita y esa propiedad de hecho era bastante útil para lograr cosas. En otras palabras, la definición de espacios topológicos (y el requisito que mencionas en el título junto con él) fue abstracta de ejemplos, no impuesta sobre ellos.

Answer 5

Corrección menor: $[0,1/n]$ no está abierto en la topología usual de la recta real. Pero podrías obtener lo mismo con El ejemplo $\cap_{n=1}^\infty (-1/n,1/n)=${0} es bueno. Y sí, los puntos no son abiertos en la topología usual de la recta. Si lo fueran, entonces cada conjunto, siendo la unión de conjuntos de un solo punto, sería abierto. Esto se llama la topología discreta.

Creo que esta definición puede ser bastante bien motivada por lo que sucede en espacios métricos, de los cuales la recta real es un caso especial. Llama a un conjunto $U$ abierto si alrededor de cada punto en $U$ hay una bola (con respecto a la métrica) centrada en ese punto y contenida en $U$. Luego puedes demostrar como ejercicio que las intersecciones de colecciones finitas de conjuntos abiertos son abiertas, y que las uniones arbitrarias de conjuntos abiertos son abiertas. Sin embargo, el ejemplo anterior muestra que no puedes tomar intersecciones arbitrarias. (En el caso de la recta real, "bola" simplemente significa intervalo abierto.)

Pero ¿por qué funciona tan bien definir espacios topológicos generales para satisfacer esta propiedad de los espacios métricos? No lo sé. Para más información sobre la motivación de definir topologías en términos de "conjuntos abiertos", puede que te interese esta pregunta de MathOverflow.