Estoy intentando aprender a expresar una raíz cuadrada como fracción continua, pero no consigo nada.
El siguiente ejemplo de $\sqrt{14}$ es de esta página (haga clic en la imagen para verla a tamaño completo):
En la segunda fila de la tabla, ¿alguien puede decirme de dónde sale el 1 (en rojo)? Por ejemplo, ¿por qué no puede ser el 2, o el 3, o el 4?
Esta es mi única duda, que me he esforzado por entender, pero no he podido.
Porque $1$ es el mayor número entero que es $\le \dfrac{\sqrt{14}+3}{5}$ .
Observación: Recordemos el procedimiento general de la fracción continua. En cualquier etapa, estamos ante un número $x_n$ que es $\ge 1$ excepto posiblemente al principio. Calculamos $a_n=\lfloor x_n\rfloor$ . Si $a_n\ne x_n$ definimos $x_{n+1}$ por $x_{n+1}=\dfrac{1}{x_n-a_n}$ . Entonces $$x_n=a_n +\frac{1}{x_{n+1}}.$$ (Hay un algoritmo "mejor" para las raíces cuadradas de los números enteros, y números relacionados).
En general, si $x$ es real y $n$ es un número natural, entonces $$\left\lfloor \frac{x}{n}\right\rfloor = \left\lfloor \frac{\lfloor x\rfloor}{n}\right\rfloor$$
Así que al calcular la expansión de la fracción continua de una raíz cuadrada de $D$ , todos los $x_i$ son de la forma $$\frac{\sqrt D + A}{B}$$ y para encontrar la parte entera de esto, sólo necesitamos encontrar la parte entera de:
$$\frac{\lfloor\sqrt D \rfloor+ A}{B}$$
Esto simplifica enormemente el proceso de calcular las partes enteras en cada paso - la única "aproximación" que necesitamos para $\sqrt{D}$ para calcular este paso es $\lfloor \sqrt{D}\rfloor$ . Piensa en lo difícil que sería si el $x_i$ podría ser de la forma
$$\frac{A_i\sqrt{D}+B_i}{C_i}$$
Esto requiere esencialmente una estimación "mejor" para $\sqrt{D}$ para encontrar la parte entera de esta expresión.
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