Una desigualdad que involucra a la función zeta de Riemann

Question

Tengo problemas para demostrar la siguiente desigualdad para $2<r<3$ : $$(1+2^{-r})\frac{(3^r+1)^2}{3^{2r}+1}>\frac{\zeta(r)}{\zeta(2r)}.$$ Puedo trazar fácilmente la gráfica, y la desigualdad se mantiene claramente. Pero no sé cómo podría dar una prueba rigurosa. Requiero $r<3$ porque, cuando $r\geq3$ Puedo demostrar la desigualdad utilizando los límites triviales $1+2^{-r}<\zeta(r)<1+2^{-r}+\int_{2}^{\infty}x^{-r}dx$ .

Answer 1

No soy capaz de probarlo por poco $r$ pero espero que esto pueda ayudarte, tal vez mejorando alguna constante. Deja $r\geq2$ . Para el producto de Euler se tiene $$\frac{\zeta\left(r\right)}{\zeta\left(2r\right)}=\underset{p}{\prod}\left(1+\frac{1}{p^{r}}\right)$$ por lo que su desigualdad es equivalente a $$\underset{p}{\prod}\left(1+\frac{1}{p^{r}}\right)<\left(1+\frac{1}{2^{r}}\right)\frac{\left(3^{r}+1\right)^{2}}{3^{2r}+1}=\left(1+\frac{1}{2^{r}}\right)\frac{\left(1+\frac{1}{3^{r}}\right)^{2}}{\left(1+\frac{1}{3^{2r}}\right)}$$ por lo que $$\underset{p\geq5}{\prod}\left(1+\frac{1}{p^{r}}\right)<\frac{\left(1+\frac{1}{3^{r}}\right)}{\left(1+\frac{1}{3^{2r}}\right)}$$ y de nuevo equivale a $$\underset{p\geq5}{\sum}\log\left(1+\frac{1}{p^{r}}\right)<\log\left(1+\frac{1}{3^{r}}\right)-\log\left(1+\frac{1}{3^{2r}}\right).$$ Dejemos que $T>5$ un número entero. Se tiene, para la suma parcial $$\underset{5\leq p\leq T}{\sum}\log\left(1+\frac{1}{p^{r}}\right) \leq$$ $$\leq \pi\left(T\right)\,\log\left(1+\frac{1}{T^{r}}\right)+r\int_{5}^{T}\frac{\pi\left(t\right)}{t\left(t^{r}+1\right)}dt\,\overrightarrow{T\rightarrow\infty}r\int_{5}^{\infty}\frac{\pi\left(t\right)}{t\left(t^{r}+1\right)}dt.$$ Así, porque $\pi\left(n\right)<1.25506\,\frac{n}{\log\left(n\right)}$ para $n>1$ , tenemos $$\underset{p\geq5}{\sum}\log\left(1+\frac{1}{p^{r}}\right)<1.25506\, r\int_{5}^{\infty}\frac{1}{\log\left(t\right)t^{r}}dt=1.25506\, r\int_{\log\left(5\right)\left(r-1\right)}^{\infty}\frac{e^{-t}}{t}dt=1.25506\, r\, E_{1}\left(\log\left(5\right)\left(r-1\right)\right).$$ Utilizando el límite $E_{1}\left(x\right)\leq\log\left(1+\frac{1}{x}\right)e^{-x}$ tenemos $$\underset{p\geq5}{\sum}\log\left(1+\frac{1}{p^{r}}\right)<1.25506\, r\left(\log\left(1+\frac{1}{\log\left(5\right)\left(r-1\right)}\right)\frac{1}{5^{r-1}}\right).$$ En el otro lado tenemos $$\log\left(1+\frac{1}{3^{r}}\right)-\log\left(1+\frac{1}{3^{2r}}\right)=r\int_{3}^{3^{2}}\frac{1}{t\left(t^{r}+1\right)}dt>\frac{r}{2}\int_{3}^{3^{2}}\frac{1}{t^{r+1}}dt= \frac{3^{r}-1}{2\,3^{2r}}$$ por lo que su desigualdad se mantiene si $$1.25506\, r\left(\log\left(1+\frac{1}{\log\left(5\right)\left(r-1\right)}\right)\frac{1}{5^{r-1}}\right)<\frac{3^{r}-1}{2\,3^{2r}}$$ y esto es cierto para $r$ lo suficientemente grande.