¿Series de Taylor no convergentes, otro ejemplo de $\exp(-1/x^2)$?

Question

El ejemplo habitual de no-convergencia de series de Taylor es $g(x) = \exp(-1/x^2) \; \forall x \neq 0, g(0) = 0$: la serie de Taylor alrededor de $x=0$ es cero, sino $g$ no es cero para cualquier $x \neq 0$.

Lo que no es tan agradable acerca de este ejemplo son los derivados de: \begin{align*}g'(x) &= \frac{2}{x^3}\exp(-1/x^2), \\ g''(x) &= \left(-\frac{6}{x^4}+\frac{4}{x^6}\right)\exp(-1/x^2), \\ \ldots \end{align*}

Así que, obviamente, tenemos que calcular la derivada de $g$ $x = 0$ mediante el uso de la definición de la derivada. No es posible obtener mediante la "aplicación de las normas" (por ejemplo, $2\exp(-1/x^2)/x^3$ no está definido para $x=0$).

La pregunta es: Puede no ser una función de $f\colon \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ que tiene un desarrollo en serie de Taylor con radio de convergencia $0$, pero cuyos derivados en la serie de Taylor se puede calcular fácilmente sólo con el uso de la "costumbre" reglas (derivados de polinomios, producto de la regla, la regla de la cadena, los derivados de la $\exp, \sin, \ldots$)?

Answer 1

Aquí está un ejemplo: %#% $ #% la función $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-t^2-x^2t^4}dt,\qquad x\in\mathbb{R}.$, así como todos sus derivados están bien definidos en $f(x)$. Por otra parte, uno puede computarlos explícitamente: $x=0$ $ sin embargo el radio de convergencia de la serie de Taylor es $$f^{(2k)}(0)=(-1)^k\frac{(4k)!}{4^{2k}k!},\qquad f^{(2k+1)}(0)=0.$.

Answer 2

Usted está pidiendo $f$ a no ser analítica, pero de tal manera que los derivados se pueden encontrar a través de derivados (reglas del producto, del cociente, de la cadena) a partir de funciones elementales. No hay ningún tipo de ejemplos.

La derivada reglas sólo se aplican cuando los "bloques de construcción" de la función diferenciable en el punto dado (y en caso de que el cociente, el denominador no es cero). Los bloques de construcción de empezar con (exponencial, trigonométricas, etc) son tales que son analíticas en todas partes donde son diferenciables. Y analiticidad se conserva también por producto, cociente y composición (por cociente: suponiendo que el denominador no es cero).

Resumen: si el derivado se aplican las reglas de la analiticidad no se pierde.