El cálculo de $\text{erf}^{-1}(z)$ $z\in\mathbb{C}$

Question

Toda la información que he encontrado acerca de la inversa de la función de error $\text{erf}^{-1}(z)$ sobre $z\in\mathbb{R}$. También he encontrado algunas expansiones de Taylor, pero como la función es acotada cerca de $z=\pm1$, estas expansiones sólo convergen en el disco $|z|<1$.

Quiero mirar las partes real e imaginaria de esta función para $z\in\mathbb{C}$. He intentado utilizar Mathematica InverseErf[z], pero parecía que sólo admiten argumentos reales. Luego traté de usar FindRoot para determinar los valores y de la trama, pero tengo un poco extraño resultados, que no desaparecen cuando puedo aumentar WorkingPrecision (probado hasta 50 decimales).

Aquí es lo que tengo en el real (izquierda) y el imaginario (derecha) de las piezas en DensityPlot de FindRoot:

Muy ligero y muy oscuras regiones corresponden a valores fuera de $-3<f<3$ gama.

Como se puede ver, usando la serie de Taylor no me ayuda con estas regiones extrañas, porque todos ellos están fuera del disco de convergencia.

Así que, mis preguntas son:

1. (respondió) ¿Cómo se puede calcular $\text{erf}^{-1}(z)$ $z\in\mathbb{C}$ incluyendo los $|z|\ge1$?
2. Hay paquetes que son capaces de calcular sin mí tener que implementar el algoritmo?
3. Son las propiedades de esta función de argumentos complejos descritos en cualquier lugar?

Answer 1

Vamos a denotar $\text{erf}^{-1}(z)=\text{ierf}(z)$ a eliminar potencialmente engañosa $^{-1}$ "poder".

Como $\text{ierf}(z)$ es una función inversa de una integral de una función primaria, que podemos encontrar fácilmente su derivada:

$$\frac{d}{dz}\text{ierf}(z)=\left.\frac1{\frac{d}{dq}\text{erf}(q)}\right\rvert_{q=\text{ierf}(z)}=\frac{\sqrt{\pi}}2e^{\text{ierf}\,^2(z)}$$

Podemos ver que la derivada tiene sólo el valor de la función en el punto de diferenciación como un parámetro. Esto significa que todas las derivadas de orden superior también dependen sólo del valor de esta función en un solo punto. Por lo tanto, se podría ampliar a la serie en algunos lo suficientemente lejos de las singularidades de punto para obtener la función de fuera de $|z|<1$. Pero tendremos que encontrar el valor de esta función en ese punto. Por supuesto, podríamos encontrar algunos de raíz para encontrar el algoritmo, pero ahora vamos a ir de otra manera.

Ya sabemos que la derivada de una función, y sólo depende del valor de la función en el punto de diferenciación, podemos hacer una ecuación diferencial, que la función debe satisfacer:

$$\frac{df(z)}{dz}=\frac{\sqrt{\pi}}2e^{f^2(z)}$$

Ahora, sabemos que desde $\text{erf}(0)=0$, entonces su inversa satisface $\text{ierf}(0)=0$. Esto nos permite escribir un problema de Cauchy para el primer fin de la educación a distancia:

$$\cases{\frac{df(z)}{dz}=\frac{\sqrt{\pi}}2e^{f^2(z)} \\ f(0)=0}$$

Esta ecuación nos dará todos los valores de $f$$-1<x<1$. Por supuesto, esto no es lo que necesitamos, así que en lugar de definir una función de $g(t)=f(v(t))$ donde $v(t)$ es una función, que parametrizes algunos de contorno en el plano complejo. La ecuación diferencial será entonces:

$$\frac{dg(t)}{dt}=v'(t)\frac{\sqrt{\pi}}2e^{g^2(t)}$$

Vamos a ver qué pasa si este contorno es la línea de $v(t)=(1+i)t$. En el siguiente gráco azul y el magenta son partes reales e imaginarias de $g(t)$, y el negro y el verde son las partes real e imaginaria de la correspondiente suma parcial (hasta $n=150$) de la expansión en series de a $z_0=0$, para la comparación:

Podemos ver que el problema de Cauchy enfoque es más fructífera en el sentido de dar la solución sin limitar nuestros valores de entrada de gama.

Ahora vamos a seleccionar un círculo, que comienza a las $v(0)=0$ pasa a través de $v(\pi)=2$, y termina en $v(2\pi)=0$, evitando así (y va en la ronda de la singularidad en $z=1$, es decir,$v(t)=1-e^{-it}$. En la siguiente imagen los colores denotan la misma.

En el lado izquierdo de la parcela, donde la solución de la serie aún no ha comenzado a divergir, ambas soluciones están de acuerdo. Pero en el extremo del círculo, de la soluciones de acuerdo. Esto es debido a que hemos viajado alrededor de un punto de ramificación. Si ir en otra dirección (es decir, la selección de $v(t)=1-e^{it}$), vamos a obtener otro valor extremo (esta vez con el negativo de la parte real e imaginaria).

He aquí cómo esto se ve en el gráfico paramétrico junto con las sumas parciales de las expansiones de una en $z=0$ y otro en $z=6+0.1i$ (imagen de la izquierda es la parte real, la derecha es la parte imaginaria, rojo y verde curvas son soluciones del problema de Cauchy, prestados de acuerdo a los valores de $v$):

Ahora que podemos evaluar $\text{ierf}(z)$ en algunos puntos, vamos a generalizar este procedimiento para acceder a cualquier punto en el plano complejo. Para esto, vamos a definir $v(t)=a \tanh(t)e^{it}$. Indicar el punto que queremos encontrar $\text{ierf}$$p$. Nuestro extremo de ser $T=\arg(p)$ ($\arg$ se define aquí para tener rango de $(-\pi,\pi]$), pero se tiene que ajustar para seleccionar la ruta de acceso correcta, la elección de una rama, para que viaje de $0$ nuestro $p$ es el más cercano; si $p\ge0$, podemos seleccionar la ruta tal que $\Im [v]\ge0$, de lo contrario hacemos $\Im [v]<0$. Así, el final de la $T$ será:

$$T=\begin{cases}\arg(p)-\pi&0\le \arg(p)<\frac\pi2\\ \arg(p)+\pi&-\frac\pi2\le\arg(p)<0\\ \arg(p)&\text{otherwise}\end{casos}$$

A continuación, tenemos que definir $a$. Sólo voy a ser tal que $v(T)=p$. He aquí cómo nuestro camino look ejemplo,$p=1.5+0.9i$:

Ahora, si hacemos un poco de código ejecutable a partir de esto y tratar de prestar $\text{ierf}(z)$, aquí es cómo la función buscar (a la izquierda real, a la derecha imaginaria):

Estas parcelas tienen algunas manchas, yo creo que es porque de alguna numérico dificultades Mathematica tenía, mientras que la solución de problema de Cauchy para algunos puntos. Sin embargo, el objetivo final para ser capaz de calcular y procesar $\text{ierf}(z),\;z\in\mathbb{C}$ se cumple.