Esta es una pregunta suave pero muy práctica desde el punto de vista matemático. Espero que sea interesante para algo más que para mí. Gracias de antemano por su ayuda para pensar claramente en lo que sigue.
He estado tratando de construir una extensión de cuaterniones de $\mathbb{Q}$ . He estado siguiendo un método demasiado optimista, que no acaba de funcionar, y acabo de aprender de esta pregunta del modus operandi que es imposible que funcione. Me gustaría que me ayudaras a pensar en la forma en que está fallando; más concretamente, en la medida en que está/no está funcionando. He obtenido una familia de campos numéricos de grado 8 que no son extensiones de cuaterniones, y ni siquiera son normales, pero debido a la construcción hay (¿tal vez?) algo quaternion-ish sobre ellos. Supongo que mi pregunta es realmente: ¿cuál es la relación de $Q_8$ al grupo galois de su cierre normal?
Dejemos que $L=\mathbb{Q}(\alpha)$ ser un $Q_8$ -extensión de $\mathbb{Q}$ . $L$ tiene un único subcampo biquadrático $K=\mathbb{Q}(\theta,\psi)$ donde $\theta^2,\psi^2\in\mathbb{Q}$ y, por tanto, subcampos cuadráticos $\mathbb{Q}(\theta),\mathbb{Q}(\psi),\mathbb{Q}(\theta\psi)$ arreglado por $\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$ respectivamente. De la pregunta de MO enlazada arriba aprendí que $\theta^2,\psi^2>0$ Pero antes de saberlo, razoné de la siguiente manera:
$\mathbf{i}$ debe arreglar $\theta$ e invertir el signo de $\psi$ y tener orden $4$ acción cíclica sobre $\alpha$ . $\alpha$ puede tomarse como la raíz cuadrada de un elemento de $K$ entonces debemos tener $\mathbf{i}^2(\alpha)=-\alpha$ . Así que, siendo optimistas, supongamos que $\mathbf{i}(\alpha)= \psi/\alpha$ . Entonces $\mathbf{i}^2(\alpha)=-\psi/(\psi/\alpha)=-\alpha$ Esto es prometedor. Supongamos también que $\mathbf{j}(\alpha)=\theta/\alpha$ . Entonces $\mathbf{k}(\alpha)=\mathbf{ij}(\alpha)=\theta/(\psi/\alpha)=(\theta/\psi)\alpha$ y
$$\mathbf{k}^2(\alpha) = \left(\frac{-\theta}{-\psi}\right)\left(\frac{\theta}{\psi}\right)\alpha=-\alpha$$
Así, $\theta^2,\psi^2$ son de igual magnitud y signo contrario. Esto nos dice, a propósito de la pregunta vinculada de MO, que esta construcción optimista no puede funcionar realmente. Sin embargo, tenedme en cuenta:
Si todo esto funcionara realmente, tendríamos $\theta/\psi = i$ (hasta el signo), y por tanto los conjugados de $\alpha$ sería
$$\pm \alpha, \pm i\alpha, \pm \psi/\alpha, \pm i\psi/\alpha$$
Un cálculo sencillo muestra que cualquier polinomio de la forma
$$f_{\psi^2}(x) = x^8 - 2r x^4 + \psi^4$$
con $r,\psi^2\in\mathbb{Q}$ tiene estos como raíces. Si elegimos $r,\psi^2$ para que $f$ es irreducible, entonces $\mathbb{Q}[x]/(f)$ es un campo de grado 8 sobre $\mathbb{Q}$ por lo que, aunque no sea la extensión de cuaterniones originalmente deseada de $\mathbb{Q}$ Es decir, es algo con una especie de manojo de raíces de aspecto prometedor.
Por lo tanto, considere $L=\mathbb{Q}[x]/(f)$ y que $\alpha$ sea el residuo de $x$ en este campo. Si fuera realmente la extensión deseada, contendría $i, \psi$ . Podemos forzar que contenga cualquiera de los dos porque tenemos control sobre el discriminante de $\alpha^4$ ya que podemos controlar $r,\psi^2$ . Por ejemplo, eligiéndolos de manera que $r^2+1=\psi^4$ Por ejemplo $r=4/3, \psi^2=5/3$ obtenemos
$$\left(\alpha^4-r\right)^2 = (2r\alpha^4-\psi^4) -2r\alpha^4 + r^2 = r^2-\psi^4= -1$$
para que $L\supset \mathbb{Q}(i)$ de hecho, $\mathbb{Q}(\alpha^4)=\mathbb{Q}(i)$ porque lo contiene y es grado $2$ .
Antes de darme cuenta de que $L$ no podría ser mi extensión de cuaterniones deseada, esperaba poder poner una restricción más completa en $r,\psi^2$ para obligarlo a contener $\psi$ Pero esto fue, por supuesto, en vano. Sin embargo, la búsqueda me llevó a darme cuenta de que
$$\left[\alpha^2((\psi^2-2r)+\alpha^4)\right]^2=\alpha^4\left(-4r(\psi^2-r)+2(\psi^2-r)\alpha^4\right)$$ $$=2(\psi^2-r)\left(-2r\alpha^4+\alpha^8\right)=2(r-\psi^2)\psi^4$$
Así, (porque $\psi^4$ es un cuadrado racional) $L$ De hecho $\mathbb{Q}(\alpha^2)$ contiene una raíz cuadrada de $2(r-\psi^2)$ . Encontré esta raíz cuadrada buscando elementos de $L$ que eran invariantes bajo la sustitución $\alpha\mapsto i\psi/\alpha$ que quería que se correspondiera con $\mathbf{j}$ . Esperaba $\psi$ ¡pero en su lugar obtuve una raíz cuadrada racional diferente!
En cualquier caso, concluimos que $\mathbb{Q}(\alpha^2)\subset L$ contiene tanto $i$ y $\sqrt{2(r-\psi^2)}$ . (Por ejemplo, con $r=4/3, \psi^2=5/3$ contiene $\sqrt{-2/3}$ Por lo tanto $\mathbb{Q}(\sqrt{6})$ .) Por lo tanto (bajo la condición $r^2+1=\phi^4$ ), $\mathbb{Q}(\alpha^2)$ es genéricamente una extensión biquadrática de $\mathbb{Q}$ y, por tanto, normal.
Por otro lado, $L$ no es normal, porque no puede contener $\psi$ a menos que se genere sobre $\mathbb{Q}$ por $i$ , $\psi$ y $\sqrt{2(r-\psi^2)}$ y esto no es plausible. Por otro lado, $f$ se divide en $L(\psi)$ Así que $L$ es una extensión cuadrática de la misma. $L$ debería tener un conjugado $L'=\mathbb{Q}(\psi/\alpha)$ correspondiente al hecho de que $\alpha$ y $\psi/\alpha$ son ambas raíces de $f$ y todas las demás raíces de $f$ se obtienen a partir de estos multiplicando por $i$ que $L$ y por lo tanto cualquier conjugado contiene.
Así que, hemos obedecido a una extensión normal del grado 16 $L(\psi)$ de $\mathbb{Q}$ . Supongo que mi pregunta equivale a, ¿cuál es la relación entre su grupo de Galois y $Q_8$ ?
(Me parece que, al menos, $Q_8$ debe ser un subgrupo, con $\mathbf{i}$ enviando $\psi\mapsto -\psi$ , $\alpha\mapsto \psi/\alpha$ y $\mathbf{j}$ fijación de $\psi$ y enviando $\alpha\mapsto i\psi/\alpha$ . ¿Esto es correcto?)
