¿Por qué este sistema tiene una solución

Question

Deje $b\in (1,2),x\in (0,\frac{\pi}{2})$,si tales $$\begin{cases} 2b^2+b-4=2\sqrt{4-b^2}\cos{x}\\ 2b^2-4=2b\cos{(x+\frac{\pi}{18})}-2\sqrt{4-b^2}\cos{\frac{5\pi}{18}} \end{casos}$$

demostrar que:$$x=\dfrac{\pi}{6}$$ Aquí es lo que ya tengo.

En primer lugar, uno debe notar la ecuación de $x=\dfrac{\pi}{6}$, $$2b^2+b-4=\sqrt{12-3b^2}$$ a continuación, $b$ tal $$b^3-3b+1=0$$ Pero este tipo de prueba no se ajustan a mi apetito ya que no sólo implica una mayor teorema, pero también no muy agradable como un sencillo y agradable forma de la pregunta de sí mismo.

Answer 1

La solución de esto es principalmente sólo complicados álgebra.

$$2b^2+b-4=2\sqrt{4-b^2}\cos{x}$$ $$2b^2-4=2b\cos{(x+\frac{\pi}{18})}-2\sqrt{4-b^2}\cos{\frac{5\pi}{18}}$$

El segundo puede ser reescrita como:

$$2b^2-4=2b\left(\cos x\cos\frac{\pi}{18}-\sin x\sin\frac{\pi}{18}\right)-2\sqrt{4-b^2}\cos{\frac{5\pi}{18}}$$

Reorganizar el primero de ellos ofrece:

$$\cos x=\frac{2b^2+b-4}{2\sqrt{4-b^2}}$$

y, por lo tanto:

$$\sin x=\sqrt{1-\frac{(2b^2+b-4)^2}{4(4-b^2)}}=\frac{\sqrt{4(4-b^2)-(2b^2+b-4)^2}}{2\sqrt{4-b^2}}$$

Poner esto juntos da:

$$2b^2-4=2b\left(\frac{2b^2+b-4}{2\sqrt{4-b^2}}\cos\frac{\pi}{18}-\frac{\sqrt{4(4-b^2)-(2b^2+b-4)^2}}{2\sqrt{4-b^2}}\sin\frac{\pi}{18}\right)-2\sqrt{4-b^2}\cos{\frac{5\pi}{18}}$$

Por las reiteradas reorganizar y ajustar usted puede deshacerse de todas las raíces cuadradas y, finalmente, acabar con un alto grado del polinomio en $b$ a resolver. Es raro factorizar muy bien. Numéricamente técnica sería más probable que se requiera para determinar las raíces de la ecuación.

Answer 2

En el espíritu de Ian Miller respuesta, la primera ecuación conduce a $$\cos(x)=\frac{2 b^2+b-4}{2 \sqrt{4-b^2}}$$ In the second equation, replace $$\cos{(x+\frac{\pi}{18})}=\cos \left(\frac{\pi }{18}\right) \cos (x)-\sin \left(\frac{\pi }{18}\right) \sin (x)$$ which allows to extract $\sin(x)$ given by $$-\frac{\csc \left(\frac{\pi }{18}\right) \left(-4 \sqrt{4-b^2}-b \left(-2 \sqrt{4-b^2} b+\left(2 b^2+b-4\right) \cos \left(\frac{\pi }{18}\right)+2 b \pecado \left(\frac{2 \pi }{9}\right)\right)+8 \sin \left(\frac{2 \pi }{9}\right)\right)}{2 \sqrt{4-b^2}}$$ (nice monster !). Now (do not try to write it !) consider $$f(b)=\sin^2(x)+\cos^2(x)-1=0$$ and plot the function. You will notice that, in the range $1\leq b \leq 2$, there are two roots to the equation. Solving numerically $$b_1\approx 1.41421356237310$$ $$b_2\approx 1.53208888623796$$ The first one is clearly $b_1=\sqrt 2$; for the second root, an inverse symbolic calculator reports that this is a solution of the cubic $x^3-3x+1=0$. Using Cardano method, this equation presents three real roots. So, using the trigonometric method for solving cubic equations, the only acceptable root is given by $$b_2=\sqrt{3} \sin \left(\frac{\pi }{9}\right)+\cos \left(\frac{\pi }{9}\right)=2 \cos \left(\frac{2 \pi }{9}\right)$$ Back to the definition of $\cos(x)$ as a function of $b$, we then find $$b_1=\sqrt 2\implies x_1=\frac{\pi }{3}$$ $$b_2=2 \cos \left(\frac{2 \pi }{9}\right)\implies x_2=\frac{\pi }{6}$$ However, $x_1$ satifies la primera ecuación, pero no el segundo (esto probablemente corresponde a una falsa raíz introducido por los múltiples quaring procesos).

Por lo $x_2=\frac{\pi }{6}$ es la única solución.

Answer 3

Sugerencia $cos50\approx 0.6$ para crear $cos(x+π/18)$ en términos de b a partir de la segunda ecuación y crear $cosx$ en términos de b en la primera ecuación de la creación de ellos y simplificando se obtiene una gran ecuación! Que es $$8b^4+4b^3-18b^2+4b^2\sqrt{4-b^2}+6.6b\sqrt{4-b^2}-26.4\sqrt{4-b^2}+4=0$$ solving it you get roots but only $1.15023$ satisfies this as $b$ belongs to $(1,2)$ so its $1.42$ then approximately due to numerical approximation you get $cos(x)=0.62$ thus $x=π/6$