Inducción de la hipótesis de la incomprensión y el teorema fundamental de la aritmética.

Question

El teorema fundamental de la aritmética se compone de dos partes:

• La existencia de la parte:

Existen números primos tal que para cualquier número natural $j$, podemos escribir $j$ como un producto de números primos.

• La singularidad parte:

Que podemos escribir cualquier número natural $j$ como un único producto de números primos.

Para el propósito de este post nos centraremos sólo en la existencia de la parte. De wikipedia, nos enteramos de que la existencia de la parte de el TLC puede ser demostrado a través de la inducción matemática:

Tenemos que demostrar que todo número entero mayor que 1 es un producto de números primos. Por inducción: supongamos que es cierto para todos los números entre 1 y n. Si n es primo, no hay nada más que demostrar (una principal es trivial producto de números primos, un "producto" con sólo uno de los factores). De lo contrario, existen enteros a y b, donde n = ab y 1 < un ≤ b < n. Por la hipótesis de inducción, a = $p_1p_2...p_j$ y b = $q_1q_2...q_k$ son productos de números primos. Pero entonces n = ab = $p_1p_2...p_jq_1q_2...q_k$ es un producto de números primos.

Pero no estoy muy satisfecho con esta prueba, parece ser no muy intuitiva. Puede que alguien me muestre una prueba de la FTA, que no requiere el uso de la inducción matemática y es intuitivo?

Me refiero a ¿por qué intuitivamente podría números que no pueden ser factorizados ser los bloques de construcción de todos los demás números a través de la multiplicación? Hay alguna razón de fondo?

Gracias de antemano.

Answer 1

Se puede argumentar que es por la contradicción, el uso de la bien-pedido de axioma, que es equivalente a la inducción, pero se siente bastante diferente en una prueba. Esto funciona así:

Supongamos que existe algún número natural que no es un producto de números primos. Deje $S$ ser el conjunto de todos los números. Hay por lo menos un elemento en $S$; llamarlo $n$. Sabemos que $n$ no puede ser un primo, o no sería en $S$. Por lo tanto, se puede escribir como producto de dos números menores que sí: $n=ab$, $1<a,b<n$. Sin embargo, desde la $n$ es el número más pequeño en $S$, sabemos que $a$ $b$ no $S$. Por lo tanto, puede ser escrito como el producto de números primos, pero, a continuación, por lo que puede a $n$. Esta es nuestra contradicción.

¿Que tiene más sentido?

Answer 2

Me atrevería a sugerir que la existencia de la prueba es realmente muy intuitivo, en el que es exactamente lo que iba a hacer en la práctica para factorise un entero. Por ejemplo, para factorise $72$ puede muy bien comenzar con $$72=8\times9$$ y, a continuación, considerar si el $8$ $9$ puede ser factorised más. Si fueron sistemáticamente factorizar todos(!) los enteros positivos que ya se sabe el factorisations para $8$ $9$ y sólo tendría que sustituir en el producto arriba indicado. Esto es exactamente lo que la existencia de la prueba. La inducción es sólo una manera de muy cuidadosamente la escritura de este procedimiento.

Answer 3

Voy a intentar responder a tu última pregunta: "Intuitivamente ¿por qué habría de números que no pueden ser factorizados ser los bloques de construcción de todos los demás números a través de la multiplicación?", y, al hacerlo, voy a ofrecer algunas ideas detrás de la prueba.

Vamos a empezar con cualquier número natural $n$. Si $n$ es primo, entonces no puedes romper. De lo contrario, $n=ab$ algunos $a,b \in \mathbb N$. Los "bloques de construcción" de la aritmética son los números que no pueden ser descompuestos por factorización - es decir, los números que no tienen no trivial factores.

Podemos seguir rompiendo $a$$b$, y desde $n$ es finito, y $a,b<n$, este proceso debe terminar. La idea general es que la factorización es, en cierto sentido, el opuesto de la multiplicación - así que tiene sentido que los números que no pueden ser factorised mayor será la construcción de bloques de los que puede.

La singularidad argumento es, sin embargo, mucho menos intuitivo y se basa en la especial estructura de los números naturales. Por ejemplo, si nos quedamos sólo considerar los números pares, y de la llamada "primos" los números que no pueden dividirse más, entonces tenemos $$60 = 6\times 10=2\times 30,$$ but neither $2,30,6$ nor $10$ puede ser dividido aún más - así factorización en "primos" no es exclusivo de aquí.

(¿Qué es especial acerca de los números naturales es que podemos calcular más altos de factores comunes, de modo que si queremos encontrar todos los números que son divisibles por $m$ $n$ decir, este resulta ser todos los números que son divisibles por $\text{hcf}(m,n)$ -, pero para comprender plenamente esto, usted puede necesitar para el estudio de algunas Anillo de la Teoría.)

Answer 4

Creo que esto es lo que es esencialmente igual a lo que la prueba dice, pero:

Dado un número natural $n$, repita el procedimiento a continuación:

i) comprobar si cualquier número natural menor que n (pero no igual a 1) divide a n

si no hay ningún número divide a n: n es primo, por definición. De lo contrario, tenemos $a$ $b$ tal que $n=ab$

ii) ahora repita i) con dos números naturales $a$$b$.

Esto debe terminar en algún momento, ya que n es finito, y al $n$ se expresa como producto de 'irreductibles' números primos. Tenemos, entonces habría un primer factorización de $n$.

Answer 5

Los números primos son los átomos de divisibilidad: no se puede dividir más.

Así se forma un conjunto de bloques de construcción de los números naturales: cualquier número natural puede ser construido a partir de estos átomos.

El edificio de la regla para la construcción es el inverso de la división, es decir, la multiplicación.

La prueba es "a prueba de destrucción" 8^) - indica cómo dividir un número dado en sus átomos.