Puede $\pi$ ser una raíz de un polinomio en casos especiales?

Question

¿Y si consideramos polinomios cuyos coeficientes son racionales o $e$ , es decir, un polinomio en $\mathbb{Q} \cup \{e\}$ con $\pi$ como raíz.

¿Puede suceder esto? ¿Importa si cambiamos racional por entero en la definición?

Answer 1

Un número real/complejo es una raíz de un polinomio con coeficientes racionales si y sólo si es una raíz de un polinomio con coeficientes enteros: basta con multiplicar por un número entero adecuado para despejar los denominadores y obtener un polinomio entero.

(Sin embargo, no es cierto que un número complejo sea una raíz de un monic con coeficientes enteros si y sólo si es una raíz de un polinomio mónico con coeficientes racionales; los primeros se llaman enteros algebraicos y forman un subconjunto propio de los números algebraicos. Por ejemplo, $\frac{1}{2}$ es ciertamente la raíz de un polinomio mónico con coeficientes racionales, por ejemplo $x - \frac{1}{2}$ pero no es la raíz de ningún polinomio mónico con coeficientes enteros .)

Ahora, por supuesto $\pi$ es una raíz de muchos polinomios con coeficientes reales: es una raíz de $x-\pi$ Después de todo, y así sucesivamente.

Si $\pi$ es una raíz de un polinomio con coeficientes en $\mathbb{Q}[e]$ o en $\mathbb{Q}(e)$ Sin embargo, se desconoce. La noción que se quiere es la de independencia algebraica . Un conjunto de números reales $\{r_1,\ldots,r_n\}$ se dice que es "algebraicamente independiente" si no existe un polinomio no nulo $p$ en $\mathbb{Q}[x_1,\ldots,x_n]$ tal $p(r_1,\ldots,r_n)=0$ . Se desconoce si $\{\pi,e\}$ es algebraicamente independiente. (Ni siquiera se sabe si $\pi+e$ es irracional)

Sin embargo, es es que se sabe que $\pi$ y $e^{\pi}$ son algebraicamente independientes.

Answer 2

La respuesta es casi seguro que no, pero no se conocen pruebas. De hecho, ni siquiera se sabe si $\pi e$ es racional. La conjetura de Schanuel implica que $\pi$ y $e$ son algebraicamente independientes, y por lo tanto la respuesta a tu pregunta es no.