Que es mayor en la secuencia de $1, \sqrt 2 , \sqrt[3] 3 , \sqrt[4] 4 \cdot \cdot \cdot?$

Question

Este problema es de Ivan Niven "de Máximos y Mínimos Sin Cálculo". Lo que es otra manera de encontrar esto? La solución de que el libro fue:

Tenga en cuenta que$\large \sqrt[4] 4 =\sqrt 2$, por lo que este resultado sugiere que la $\sqrt[3] 3$ es el más grande. A continuación el libro demostrado que $\sqrt[3] 3>n^{1/n}$ o $3^n>n^3$ de las grandes suficientemente $n.$

Answer 1

Si $f(x)=x^{1/x}$$f'(x)=0$$x=e$. Lo que tiene que ver sólo$2$$3$.

Answer 2

Hmmm, no estoy seguro de cómo hacer con pre-cálculo del conocimiento, sino con el cálculo, me gustaría mostrar:

$f(x)=x^{1/x}$ tiene un máximo cuando $x=e$, y se incrementa al $x<e$ y la disminución de al $x>e$.

Así que tiene que ser $f(2)$ o $f(3)$.

A continuación, compruebe los dos a ti mismo - es bastante fácil.

Answer 3

Trate de tomar $\sqrt 2$ $\sqrt[3]3$ a la sexta potencia. Que es más grande? Desde $x\mapsto x^6$ es una función creciente en el no-negativos reales, ¿qué se puede concluir?

Answer 4

Comparar $n^{1/n} ? (n+1)^{1/(n+1)}$ (es decir, queremos saber si "?" es ">" o "<").

Elevar a la $n(n+1)$ poder: $n^{n+1} ? (n+1)^n$.

Dividir por $n^n$: $n ? (1+1/n)^n$.

Aplicar una de las muchas formas elementales para mostrar que $(1+1/n)^n <e < 3$ tal como este: ¿Cuál es el más elemental de la prueba de que $\lim_{n \to \infty} (1+1/n)^n$ existe?.

Por lo tanto, "?" es ">" para $n \ge 3$, así $n^{1/n} > (n+1)^{1/(n+1)}$ para $n \ge 3$.