Serie $\frac{k^2}{k!}$ con $ k=1$ a $\infty$

Question

Una práctica del GRE de la asignatura de matemáticas me pedía que calculara $\sum_{k=1}^\infty \frac{k^2}{k!}$ . La suma es igual a $2e$ pero no he sido capaz de resolverlo utilizando las series de Maclarin o los PDF discretos. ¿Cuál es la forma más elemental de resolver esto? Gracias.

Answer 1

No hace falta teoría; puedes resolverlo con simples manipulaciones.

$$ \sum_{1}^{\infty} \frac{k^2}{k!} = \sum_{1}^{\infty} \frac{k}{(k-1)!} = \sum_{0}^{\infty} \frac{k+1}{k!} = \sum_0^{\infty} \frac{1}{k!} + \sum_1^{\infty} \frac{k}{k!} = e + \sum_0^{\infty} \frac{1}{k!} = 2e $$

Answer 2

Intentaré calcular la serie más general: $$S_n=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{k^n}{k!}$$ donde $n$ es un número entero y $n\ge 0$ .

\begin{align} \begin{aligned} S_n &=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{k^n}{k!} \\ &=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k^n}{k!} \\ &= \sum_{k=1}^{\infty}\frac{((k-1)+1)^n}{k!}\\ &= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(k+1)^n}{(k+1)!} &k\to k+1\\ &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(k+1)^{n-1}}{k!} &\text{simplifying}\\ &=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\left( \sum_{j=0}^{n-1}\binom{n-1}{j}k^j\right) &\color{green}{\text{binomial expansion}}\\ &= \sum_{j=0}^{n-1}\binom{n-1}{j}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{k^j}{k!} &\color{red}{\text{rearranging}} \\ &= \sum_{j=0}^{n-1}\binom{n-1}{j} S_j \end{aligned} \end{align}

Ahora bien, si ya está familiarizado con Números de campana Esto sin duda sonará a campana ; por lo demás, es una relación de recursión útil para calcular la suma en el caso general.

Para $n=0$ por definición sabemos que es La constante de Euler $S_0=e$ . Para $n=1$ tenemos:

$$S_1=\binom{0}{0}S_0=1 \times e = e$$

Para $n=2$ que resulta ser lo que se ha pedido, tenemos:

$$S_2=\binom 1 0 S_0 + \binom 1 1 S_1 = 2e$$

Y así sucesivamente. En general, ya que $S_n$ tienen las mismas relaciones de recursión lineal que Números de campana $B_n$ la solución sería $S_n=e B_n$ .

Una bonita forma de construir estos números de Bell sería utilizando los triángulos que he encontrado en este puesto :

\begin{array}{ccccccccccccc} 1 & & 1 & & 2 & & \color{red}5 & & 15 & & 52 & & \color{blue}{203} \\ & 2 & & 3 & & 7 & & 20 & & 67 & & 255 \\ & & \color{red}{5} & & 10 & & 27 & & 87 & & 322 \\ & & & 15 & & 37 & & 114 & & 409 \\ & & & & 52 & & 151 & & 523 \\ & & & & & \color{blue}{203} & & 674 \\ & & & & & & 877 \end{array}

Answer 3

Consideremos la serie de potencias

$$f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} = e^x$$

$$\frac{d}{dx} \left [x \frac{d}{dx} f(x)\right] = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{k^2 x^k}{k!} = (x+1) e^x $$

Enchufar $x=1$ y se obtiene el resultado indicado.

Answer 4

$e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\cdots+\dfrac{x^k}{k!}+\cdots$

Diferenciando ambos lados,

$e^x=0+1+\dfrac{2x}{2!}+\cdots+\dfrac{kx^{k-1}}{k!}+\cdots$

Multiplicando ambos lados por $x$ ,

$xe^x=x+\dfrac{2x^2}{2!}+\cdots+\dfrac{kx^k}{k!}+\cdots$

De nuevo, diferenciando ambas partes,

$(x+1)e^x=1+\dfrac{2^2x}{2!}+\cdots+\dfrac{k^2x^{k-1}}{k!}+\cdots$

Ahora poniendo $x=1$ da,

$2e=\dfrac{1^2}{1!}+\dfrac{2^2}{2!}+\cdots+\dfrac{k^2}{k!}+\cdots$