La comprobación de la degeneración de electrones es una cuestión de comparar los Fermi de la energía cinética con $kT$.
Si $E_F/kT \gg 1$, entonces se puede asumir que los electrones degenerados.
La densidad central del Sol es de alrededor de $\rho=1.6\times 10^5$ kg/m$^3$ y el número de unidades de masa atómica por electrón es de alrededor de $\mu_e =1.5$.
El número de la densidad de electrones es, por tanto, $n_e =\rho/\mu_e m_u = 6.4\times 10^{31}$ m$^{-3}$.
El Fermi impulso es $p_F = (3n_e/8\pi)^{1/3} h = 1.3\times 10^{-23}$ kg m s$^{-1}$. Como $p_F \ll m_e c$, a continuación, los electrones son no-relativista y por lo $E_F \simeq p_F^{2}/2m_e = 9.3\times 10^{-17}$ J.
Como la temperatura en el núcleo del sol es $T =1.57\times 10^7$ K, entonces $E_F/kT = 0.43$. Esta relación es claramente demasiado pequeño para los electrones incluso a ser considerado como parcialmente degenerado. (Por ejemplo, la relación es más como 1000 en un típico electrones degenerados estrella enana blanca, y cerca de 20 en el centro de un parcial de electrones degenerados enana marrón).
Creo que esto coincide con un tratamiento basado en la longitud de onda de de Broglie. La raíz de este método es el principio de incertidumbre en 3D. La degeneración será importante cuando
$$(\Delta p \Delta x)^3 \simeq (\hbar/2)^3,$$
donde $\Delta x$ es la separación de electrones y $\Delta p$ es una diferencia media de electrones momenta.
Si dejamos $\lambda \simeq h/\Delta p$, entonces podemos ver que la degeneración es importante cuando se $\Delta x \simeq \lambda/4\pi$. es decir, Grave degeneración se establece cuando la longitud de onda de de Broglie es de un orden de magnitud mayor que la de los electrones de la separación.
OK, pero la relación no es cero, por lo que habrá será una pequeña corrección para el gas perfecto cálculo de la presión. Para trabajar este correctamente lo que tendría que hacer una integración numérica para encontrar la presión debida a una muy leve degenerados de gas.
A ver si vale la pena molestar, simplemente puede ver lo que la proporción ideal de la degeneración de la presión en este número de electrones de la densidad es el perfecto presión de gas en el núcleo del Sol.
Más o menos:
$$ \frac{P_{deg}}{P} = \frac{h^2}{20m_e} \left(\frac{3}{\pi}\right)^{1/3} n_{e}^{5/3} \frac{1}{(n_i +n_e) kT},$$
donde $n_i$ es el número de la densidad de iones en el gas. Si decimos $n_i \simeq n_e$ (en realidad es un poco más pequeño debido a los núcleos de helio presente), a continuación, poner los otros números, nos encontramos con que $P_{deg}/P \sim 0.09$. Por lo tanto, llego a la conclusión de que si se desea calcular la presión con más precisión que el 10 por ciento, entonces usted necesita para tener en cuenta la muy parcial de la degeneración de los electrones en el núcleo del sol (y su composición exacta).
MUCHO más formal de tratamiento (véase por ejemplo el Capítulo 2 de Clayton, D. 1983, los Principios de la Evolución Estelar y la Nucleosíntesis, Univ. of Chicago Press), muestra que los electrones de la presión (los iones son no degenerados y puede tratarse como un gas perfecto) puede ser escrita (si los electrones son no-relativista)
$$ P_{e} = n_e kT \left(\frac{2F_{3/2}}{3F_{1/2}} \right),$$
donde el término entre paréntesis, indica la razón por la que los electrones de la presión del gas que sale de la perfecta ley de los gases, y donde
$$F_n(\alpha) = \int_{0}^{\infty} \frac{u^n}{\exp(\alpha + u) + 1}\ du,$$
con $u = E_k/kT$ $\alpha= -\mu/kT$ donde $\mu$ es el potencial químico dado por la inversión de
$$ n_e = \frac{4\pi}{h^3}(2m_e kT)^{3/2} F_{1/2}(\alpha)$$
NB: $\mu \rightarrow E_F$ al $\alpha \ll -1$.
Estas expresiones deben ser evaluados numéricamente o tomados de las tablas (por ejemplo, en la Tabla 2.3, en Clayton 1983). Sin embargo, $P_e/n_e kT$ $\geq 1$ para todos los valores de $\alpha$. Por lo que cualquier degeneración siempre aumenta la presión sobre un gas perfecto. La imagen de abajo (de Clayton 1983) muestra cómo $P_e/n_e kT$ varía con $\alpha$. Clayton dice que "la presión del gas es esencialmente la de un no-degenerada de gas para $\alpha>2$".
![Degeneracy pressure from Clayton (1983)]()
Por lo que poner en algunos números para el Sol, nos encontramos con $F_{1/2}(\alpha) = 0.19$ y de la Tabla 2.3 de Clayton, obtenemos $\alpha \simeq 1.45$. Esto a su vez significa que el $2F_{3/2}/3 \simeq 0.20$. Así que el electrón de la presión es un factor de $\simeq 1.05$ mayor que el ideal de la presión del gas de la ley a la misma densidad y la temperatura.
