¿Qué hacen los $p$ -¿se ven las raíces de la unidad?

Question

Sé que $\mathbb{Z}_p$ tiene todos los $p-1^{st}$ raíces de la unidad (y sólo esas). ¿Es cierto que mod $p$ ¿son todos diferentes? Es decir, ¿el mapa natural $\mathbb{Z}_p \rightarrow \mathbb{F}_p$ restringido sólo a las raíces de la unidad, ¿bijetivo?

Answer 1

De hecho, el $(p-1)^{st}$ raíces de la unidad son las llamadas Ascensores Teichmüller de los elementos no nulos de $\mathbb{F}_p$ . Esta construcción es muy importante, porque se generaliza a los vectores de Witt, como se explica en el artículo, y éstos son muy utilizados en la teoría de números.

Answer 2

Esto se deduce del hecho de que $x^{p-1} - 1$ es relativamente primera a su derivada formal sobre $\mathbb{F}_p$ que es $-x^{p-2}$ .