Para lo cual $\alpha$ ¿esta suma converge? $\sum_{n=3}^{\infty} {\frac{1}{n \cdot \ln(n) \cdot \ln(\ln(n))^{\alpha}}}$

Question

Dada:

$$\sum_{n=3}^{\infty} {\frac{1}{n \cdot \ln(n) \cdot \ln(\ln(n))^{\alpha}}}$$ Me preguntan: ¿Para qué valores de $\alpha$ ¿conviene esta suma?

Así que dije, $f(n) = \frac{1}{n \cdot \ln(n) \cdot \ln(\ln(n))^{\alpha}}$ . $f(n)$ es evidentemente una función monótona decreciente. Entonces, utilizando la prueba integral esta suma converge si y sólo si $I = \int_{3}^{\infty} {\frac{dn}{n \cdot \ln(n) \cdot \ln(\ln(n))^{\alpha}}}$ converge. (tiene un valor)

Pero me resulta muy difícil seguir con esto. Se agradecerá cualquier orientación.

Answer 1

Por la prueba de condensación de Cauchy: $$\sum_{n=3}^{\infty} {\frac{1}{n \cdot \ln(n) \cdot \ln(\ln(n))^{\alpha}}} \text{ converges} \iff $$ $$\sum_{n=3}^{\infty} {\frac{2^n}{2^n \cdot \ln(2^n) \cdot \ln(\ln(2^n))^{\alpha}}} = \sum_{n=3}^{\infty} {\frac{1}{n \ln(2) \cdot \ln(n\ln(2))^{\alpha}}} \text{ converges} \iff $$ $$\sum_{n=3}^{\infty} {\frac{1}{(n\ln(2)+\ln(\ln(2)))^{\alpha}}} \text{ converges} \iff \alpha>1$$

Answer 2

Tenga en cuenta que $$\frac{1}{1- \alpha}\frac{d}{dx}(\log\log(x))^{1-\alpha}=(\log\log(x))^{-\alpha}\frac{1}{x\log x}$$

desde $$(\log\log x)^\prime =\frac{1}{x\log x}$$

Answer 3

La solución de Peter y la mía son iguales, pero la idea es hacer una sustitución en u: $$\int_3^\infty \frac{dn}{n\ln n (\ln \ln n)^\alpha}$$

La sustitución más limpia es $u=\ln\ln n$ desde entonces $du=\frac{1}{\ln n}\cdot \frac{1}{n} dn$ lo que ata muy bien su denominador en $$\int_{\ln(\ln (3))}^\infty \frac{1}{u^\alpha} du$$ y el resto es obvio.

Incluso si usted no vio la sustitución $u=\ln\ln n$ Al menos podrías notar que si subes $u=\ln n$ podría deshacerse de la $1/n$ y quedar integrando $\frac{1}{u\ln u}$ a la que podrías aplicar la misma técnica.