Erdos Conjetura sobre progresiones aritméticas

Question

Introducción:

Sea a un subconjunto de los naturales tal que $\sum_{n\in A}\frac{1}{n}=\infty$. El Erdos Conjetura de los estados que debe tener progresiones aritméticas de longitud arbitraria.

Pregunta:

Me preguntaba cómo se puede ir sobre $\it{categorizar}$ o $\it{generar}$ de la divergencia de la serie de la forma en la introducción. Estoy interesado en algunas de las técnicas en particular y yo una lista de algunos ejemplos a continuación:

Si dejamos de $S$ el conjunto de divergente la serie: $S=\left[ A: \sum_{n\in A}\frac{1}{n}=\infty, \ A\in\mathbb{N} \right]$, ¿qué tipo de operaciones hay que hacer un grupo, o, al menos, un semigroup? Yo soy bastante vago en lo que el operatons debe ser por una razón, porque, aunque supongo operaciones triviales, su utilidad en el entendimiento de los miembros de la $S$ sería cuestionable.

Alternativamente, se puede mirar estas sumas divergentes a través de la técnica de Ramanujan suma (creo: $1+2+3+\ldots =^R -\frac{1}{12}$, $R$ enfatizando Ramanujan suma)? Las generalizaciones de Ramanujan suma (una buena referencia aquí ) permiten asignar valores a algunas de estas series y dar una medida de qué tipo de divergencia que está ocurriendo. Por otra parte, la serie básica manipulaciones que sostenga para convergente la serie tienden a llevar a Ramanujan suma, por lo que puede tal vez uno se mira el conjunto $S$ por encima como un conjunto de clases de equivalencia en el sentido de dos elementos que son equivalentes si tienen el mismo Ramanujan suma constante.

Gracias de antemano por cualquier entrada!

Answer 1

Nunca me ha gustado Erdős de la conjetura. Por supuesto, no quiero decir con eso que no me gusta resolver, o que yo no estaría fascinado saber la respuesta. Sin embargo, creo que la forma precisa en la que se afirma, con las sumas de recíprocos, le da un halo de misterio que no se merecen. La verdadera pregunta, me parece, es este: ¿qué tan grande de un subconjunto de {1,2,...,n} se puede tener si es que no contienen una progresión aritmética de longitud k? Erdős la conjetura es aproximadamente equivalente a la afirmación de que la mejor densidad usted puede obtener es de no más de n/logn. (No voy a molestar a decir lo que quiero decir por "equivalente", pero si lo piensas verás que un conjunto razonablemente suavemente la disminución de la densidad puede obtener hasta un poco menos de n/logn antes de que la suma de sus recíprocos empieza a divergir.)

Ahora no parece ser un fuerte heurística argumento de que el derecho vinculado a este problema, que es aproximadamente n/logn. De hecho, muchas personas piensan que es probablemente mucho más que eso. Así que hay algo un poco arbitraria acerca de Erdős de la conjetura: tiene una exposición memorable, pero no hay ninguna razón especial para pensar que es un natural de instrucción en el contexto de este problema. Por el contrario, si se le pregunta cuál es la densidad correcta es con el fin de garantizar una progresión de longitud k, entonces es trivialmente una pregunta natural, ya que está pidiendo el mejor posible obligado.

Uno podría defender la conjetura como el más débil limpio conjetura de su tipo que implicaría que los números primos contienen progresiones aritméticas arbitrariamente largas. Y que todavía sería un muy interesante consecuencia de una prueba de la conjetura (o más bien, el hecho de que no podía ser puramente combinatoria prueba de Green-Tao teorema sería sumamente interesante consecuencia).

Answer 2

Para los interesados, aquí está el más elemental prueba de que los conjuntos de los números naturales positivos superior de densidad necesariamente divergentes recíproca sumas de dinero, de r.e. Pete la discusión anterior.

Supongamos que $A \subconjunto \mathbf{N}$ y $\displaystyle\limsup_{N \to \infty} \frac{|A\cap [1,N]|}{N} = \alpha > 0$.

Deje de $N_0=1$, y elegir una secuencia de $N_k$ tales que $N_k \geq \frac{4N_{k-1}}{\alpha}$ y $|A \cap [1,N_k)| \geq \frac{\alpha}{2}N_k \text{ }\forall k \en \\mathbf{N}$. $$\sum_{n \in A}\frac{1}{n}= \sum_{k=1}^{\infty}\sum_{n \in A\cap [N_{k-1},N_k)}\frac{1}{n} \geq \sum_{k=1}^{\infty}(|A\cap [1,N_k)|-N_{k-1})\frac{1}{N_k}$$ $$ \geq \sum_{k=1}^{\infty}(\frac{\alpha}{2}N_k - \frac{\alpha}{4}N_k) \frac{1}{N_k}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\alpha}{4} \to \infty.$$ Esto es realmente sólo una generalización de la clásica prueba de la divergencia de la serie armónica, donde se agrupan juntos progresivamente más grandes colecciones de términos consecutivos que añadir al menos a la mitad. Espero que esto ayude!

Answer 3

Hay una manera que usted puede refundición de la conjetura de Erdős en una declaración acerca de ciertas inclusiones entre los diversos compacto a la izquierda y a dos caras ideales. Tal topológico-algebraica de las declaraciones, y un par de combinatoria declaraciones, se demuestran por Neil Hindman en

"Algunos de los Equivalentes de la Erdős Suma de los Recíprocos Conjetura". Revista europea de Combinatoria (1988) 9, no. 1, 39 -- 47.

He aquí una breve muestra de uno de estos topológico algebraicas declaraciones. Deje que $\beta\mathbb{N}$ denotar la Piedra-Čech compactification del espacio discreto de $\mathbb{N}$. Podemos extender la costumbre de la adición y la multiplicación de las operaciones en $\mathbb{N}$ $\beta\mathbb{N}$ hacer $(\beta\mathbb{N}, +)$ y $(\beta\mathbb{N}, \cdot)$ tanto en compacto derecho topológico-semigroups. (Derecho topológico semigroup significa que $(\beta\mathbb{N}, +)$ y $(\beta\mathbb{N}, \cdot)$ son tanto semigroups y para todos $p$, $p \in \beta\mathbb{N}$ los mapas de $p \mapsto p+q$ y $p \mapsto p\cdot p$ son continuas.) A ver cómo realizar esta extensión puede leer la sección 3, pgs. 23-28, de este documento pdf por Vitaly Bergelson. (Sin embargo, Bergelson de la construcción hace $(\beta\mathbb{N}, +)$ en un pacto de izquierda topológico semigroup.)

Deje que $L \subseteq \beta\mathbb{N}$. Decimos que $L$ es un ideal izquierda de $(\beta\mathbb{N}, +)$ si $L$ es no vacío y $\beta\mathbb{N} + L \subseteq L$. Podemos definir un ideal de derecho de $(\beta\mathbb{N}, +)$ doblemente, y un (a dos caras) ideal es que tanto a la izquierda y a la derecha ideal. Definimos a la izquierda, a la derecha, y a dos caras ideales de $(\beta\mathbb{N}, \cdot)$ por una simple sustitución de "$+$" con "$\cdot$".

Ahora definir los siguientes dos subconjuntos de $\beta\mathbb{N}$:

• $\mathcal{AP} = \{p \en \beta\mathbb{N} : \hbox{ contiene APs de longitud arbitraria para todos } \p \}$
• $\mathcal{D} = \{p \en \beta\mathbb{N} : \sum_{n\in A} 1/n = \infty \hbox{ para todo } \p\}$

Se sabe que $\mathcal{AP}$ es un compacto de dos caras ideal de $(\beta\mathbb{N}, +)$ y $(\beta\mathbb{N}, \cdot)$ y $\mathcal{D}$ es un compacto de izquierda ideal de $(\beta\mathbb{N}, +)$ y $(\beta\mathbb{N}, \cdot)$. Por lo tanto, (parte de) el principal resultado de Hindman del papel es el

Teorema. Las siguientes afirmaciones son equivalentes.

(a) Si $a\subseteq \mathbb{N}$ y $\sum_{n \in A} 1/n = \infty$, entonces a contiene APs de longitud arbitraria.

(b) $\mathcal{D} \subseteq \mathcal{AP}$.

Por supuesto, el punto aquí es que, dado que $\mathcal{D}$ es un ideal izquierda y $\mathcal{AP}$ es un dos caras ideal que esperamos tener algunas buenas teoremas acerca de la inclusión de las relaciones entre los diversos compacto izquierda, a la derecha, y a dos caras ideales en $\beta\mathbb{N}$ para apoyarse. Hasta donde yo sé, nadie ha intentado atacar conjetura de Erdős de este topológico algebraicas punto de vista.

Sólo para ilustrar las dificultades que conlleva, permítanme mencionar que en la actualidad no es ni siquiera un "puramente" topológico-prueba algebraica de Szemerédi del Teorema todavía!

Deje que $\Delta = \{p \en \beta\mathbb{N} : \overline{d}(A) > 0 \hbox{ para todo } \p\}$ y dejar que $\Delta^* = \{p \en \beta\mathbb{N} : d^*(A) > 0 \hbox{ para todo } \p\}$. Aquí $\overline{d}$ y $d^*$ son la parte superior asintótica de la densidad y la Densidad de Banach. Se sabe que $\Delta$ es un compacto de izquierda ideal de $(\beta\mathbb{N},+)$ y $\Delta^*$ es un compacto de dos caras ideal de $(\beta\mathbb{N}, +)$ y un pacto de izquierda ideal de $(\beta\mathbb{N}, \cdot)$. En el documento mencionado, Hindman muestra que el Teorema de Szemerédi es equivalente a cada una de las inclusiones $\Delta \subseteq \mathcal{AP}$ y $\Delta^* \subseteq \mathcal{AP}$.

Sin embargo, un posible enfoque para demostrar el Teorema de Szemerédi en un topológico algebraicas "camino" ha demostrado no a trabajar en el periódico "Subprincipal Cerrado Ideales en $\beta\mathbb{N}$" por Dennis Davenport y Hindman. En este artículo, muestran que $\Delta^*$ cruza todas cerrado ideal de $(\beta\mathbb{N},+)$; pero, más allá de eso, no se sabe lo suficiente acerca de inclusiones entre los compactos ideales para demostrar, de manera algebraica, que $\Delta^* \subseteq \mathcal{AP}$.

Answer 4

Una idea que se me ocurrió es que si la conjetura es verdadera, entonces no sería un número finito de límite superior de lo grande que la suma podría ser si el conjunto no tuvo una progresión aritmética de longitud k, permite llamar a esta cota superior de f(k). Obviamente, f(1)=0, ya que si hay alguno de los miembros, a continuación, hay una progresión aritmética de esa longitud. f(2)=1 (usando el conjunto {1}), como la adición de más números resultaría en una progresión aritmética de longitud, dos o más. Actualmente estoy trabajando en f(3)

Answer 5

La mayoría de los puntos de esta respuesta es para promover un pedazo de la terminología:

Hace tres años me enseñó por primera vez un número de la teoría de curso en la UGA en el que me hizo la siguiente definición: un subconjunto de $Una$ de los enteros positivos es sustancial si

$\sum_{n \in A} \frac{1}{n} = \infty$.

Un poco de discusión de este concepto se produce en la Sección 4 de

http://math.uga.edu/~pete/4400primes.pdf

He de hacer mención a la Erdos(-Turan?) conjetura sobre progresiones aritméticas en grupos importantes. Para el propósito de construir ejemplos, posiblemente el comentario que hago sobre cualquier conjunto con positivo superior de densidad, siendo sustanciales que serán de mayor utilidad para usted.

Esas notas no contienen una prueba de eso, pero una prueba de esto y más se puede encontrar en una muy (muy!) bonito proyecto final realizado en esta clase por el (entonces) de pregrado Alex Arroz. Lamentablemente nunca me dio una copia electrónica en una forma de que yo era capaz de subir a mi página web. Si quieres ver su valoración crítica, hágamelo saber y voy a bug él acerca de esto otra vez: los vientos del destino han soplado en torno a él un poco, pero ahora está de nuevo en una UGA (posgrado) estudiante que toma un número de la teoría del curso de mí.

Finalmente, para responder una de sus preguntas en una manera barata: sí, el conjunto de sustancial subconjuntos de $\mathbb{Z}^+$ sin duda forma un semigroup en virtud de la unión. Esto parece completamente ineficiente de observación, pero quién sabe...