Por qué tantos argumentos para la transformación de las ecuaciones generalizadas de coordenadas?

Question

Para un sistema de $N$ de las partículas con $k$ holonomic limitaciones, sus coordenadas Cartesianas se expresan en términos de las coordenadas generalizadas como $$\mathbf{r}_1 = \mathbf{r}_1(q_1, q_2,..., q_{3N-k}, t)$$ $$...$$ $$\mathbf{r}_N = \mathbf{r}_N(q_1, q_2,..., q_{3N-k}, t)$$

Cada partícula en el espacio puede ser identificada por 3 variables independientes, así que ¿por qué no la de arriba es de la forma $$\mathbf{r}_i = \mathbf{r}(q_{i1}, q_{i2}, q_{i3})?$$

Tenga en cuenta que no es sólo una transformación de la $\mathbf{r}$ todos los $\mathbf{r}_i$, una función de sólo tres coordenadas generalizadas independientes y de $t$.

Answer 1

El $k$ holonomic restricciones se utilizan para eliminar el $k$ $q$s, por lo que la reducción de su número de$3N$$3N-k$. Este, a continuación, introduce la dependencia de algunos de la transformación de las ecuaciones en t y otros $q$s.

Tienes k holonomic restricciones de la forma $$\mathbf{f}_1(q_1, q_2,..., q_{3N},t) = 0$$ $$...$$ $$\mathbf{f}_k(q_1, q_2,...,q_{3N}, t) = 0$$ $3N$ q coordinates for the $N$ particles $$(q_1,q_2,q_3), (q_4,q_5,q_6),..., (q_{3N-2},q_{3N-1},q_{3N})$$ $3N$ transformation equations relating cartesian to generalised coordinates $$\mathbf{r}_1 = \mathbf{r}_1(q_1,q_2,q_3)$$ $$...$$ $$\mathbf{r}_N = \mathbf{r}_N(q_{3N-2},q_{3N-1},q_{3N})$$ Using the first constraint to eliminate $q_1$ gives $\mathbf{r}_1= \mathbf{g}_1(q_2,q_3,..,q_{3N},t)$ which is of the same form as one of the transformation equations you quoted. Which $q$ can be eliminated depends upon the constraints of the problem and so in general, the transformation equations are of the form $$\mathbf{r}_i= \mathbf{r}_i(q_1,q_2,..,q_{3N-k},t)$$

Answer 2

La generalización de las coordenadas de un sistema de $N$ de las partículas se aplican para el sistema como un todo, no a las partículas individuales, y, en consecuencia, que pueden (y a menudo lo hacen) combinar las coordenadas de varias partículas.

Un ejemplo común es el de dos cuerpos el movimiento orbital: una generalizada de coordenadas es la posición del centro de masa del sistema,

$$\mathbf{q}_1 = \frac{m_1 \mathbf{r}_1 + m_2 \mathbf{r}_2}{m_1 + m_2}$$

y el otro es el vector desplazamiento entre los dos cuerpos,

$$\mathbf{q}_2 = \mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1$$

Cada una de las coordenadas generalizadas depende de las coordenadas físicas de ambos objetos, y si usted invertir la transformación usted encontrará que las coordenadas físicas de cada objeto depende tanto de coordenadas generalizadas. Por lo tanto no pueden expresar $\mathbf{r}_i$ en términos de $q_{i(1,2,3)}$ solo.