Débil solución periódica de parabólica PDE

Question

Tomar $$ u_t(t) + A(t)u(t) = f(t), $$ $$ u(0) = u(T), $$ donde $A$ es lineal, elíptica operador y de la primera ecuación es una igualdad en $L^2(0,T;V^*)$ $V \subset H \subset V^*$ Hilbert triple. (existe un ligero abuso de notación en la igualdad, pero no importa)

¿Bajo qué condiciones una solución a este problema existe? La solución me refiero a $u \in L^2(0,T;V)$ $u_t \in L^2(0,T;V^*)$ (o $u_t \in L^2(0,T;H)$ si los datos es lo suficientemente suave). Aparte de requerir que quizá $A(0) = A(T)$$f(0) = f(T)$.

¿Cómo hace uno para demostrar esto a través de la Galerkin enfoque?

Gracias

Answer 1

Paso I. Resolver el problema de valor inicial $$ \left\{ \begin{array}{lll} X_t(t)=-A(t)X(t), \\ X(s)=I, \end{array} \right. $$ donde $I : H\to H$ es la identidad. Suponga que $K(t,s)$ es la solución: este es un operador acotado de$H$$H$, para cada $s,t$ - No es tanto la teoría y aproximaciones para la obtención de $K$, es decir, $$ K(t,s)=\lim_{n\to\infty}\prod_{k=1}^n \bigg(1-\frac{t-s}{n}\Big(s+k\frac{t-s}{n}\Big)\bigg). $$

Paso II. La solución de $$ X_t+A(t)X=f(t), \quad X(0)=X^0, $$ luego es expresado como $$ X(t)=K(t,0)\,X^0+\int_0^t K(t,s)\,f(s)\,ds. $$

Paso III. Comprobar si existe un $X^0$, de tal manera que $$ X(T)=X(0) $$ o, equivalentemente, $$ K(T,0)\,X(0)+\int_0^T K(T,s)\,f(s)\,ds=X(0). $$ o $$ \big(K(T,0)-I\big)X(0)=-\int_0^T K(T,s)\,f(s)\,ds. $$ Esto sólo requiere que el operador $K(T,0)-I :H\to H$ posee un inverso o, equivalentemente, $$ 1\no\en \sigma\big(K(T,0)\big). $$

Answer 2

Las condiciones son las "habituales", véase, por ejemplo, Brezis, análisis Funcional, 2010:

o) $V \subset H$ es densa, $H$ $H^*$ son identificados, $V$ es separable.

o) $A(t) : V \to V^*$ lineal, acotado y coercitivas (es decir, $A + \mu I$ $V$- elípticas para un $\mu > 0$ bastante grande) de manera uniforme en $t$, e $t \mapsto (A(t) u, v)$ es medibles para todos los $u, v \in V$.

o) $f \in L^2(0, T; V^*)$.

o) $u(0) = u(T)$ es entendida como igualdad en $H$.

Entonces, no existe una solución única a $u \in H^1(0,T; V^*) \cap L^2(0,T; V)$ y depende de forma lineal y continua en la $f$.

La periodicidad de los datos no es necesaria; es que no tiene sentido.

La prueba por el Faedo-Galerkin método de aproximación se puede aplicar exactamente como en las no periódicas caso; véase, por ejemplo, Evans, ecuaciones diferenciales Parciales, 1998; o Wloka ecuaciones diferenciales Parciales, 1987; y, por supuesto, los Leones/Magenes y Dautray/los Leones.