Sea $V$ un espacio vectorial con dimensiones infinitas. Una base de Hamel para $V$ es un conjunto ordenado de vectores linealmente independientes $\{ v_i \ | \ i \in I\}$ tal que cualquier $v \in V$ puede expresarse como una combinación lineal finita de los $v_i$; así que $\{ v_i \ | \ i \in I\}$ abarca $V$ algebraicamente: esta es la extensión obvia de la noción de finita dimensionalidad. Además, por el Lema de Zorn, tal base siempre existe.
Si dotamos a $V$ con una topología, entonces decimos que un conjunto ordenado de vectores linealmente independientes $\{ v_i \ | \ i \in I\}$ es una base de Schauder si su abarcamiento es denso en $V$ con respecto a la topología elegida. Esto significa que cualquier $v \in V$ puede expresarse como una combinación lineal infinita de los $v_i$, es decir, como una serie.
Por lo que entiendo, si un $v$ puede expresarse como una combinación lineal finita de algún conjunto $\{ v_i \ | \ i \in I\}$, entonces pertenece a su abarcamiento; en otras palabras, si $\{ v_i \ | \ i \in I\}$ es una base de Hamel, entonces abarca todo $V$, y por lo tanto es una base de Schauder con respecto a cualquier topología en $V$.
Sin embargo, Per Enflo ha construido un espacio de Banach sin base de Schauder (ref. wiki). Así que supongo que debo concluir que mi razonamiento es incorrecto, pero no logro ver cuál es el problema.
Cualquier ayuda es apreciada, ¡gracias de antemano!
ACTUALIZACIÓN: (a partir de la gran cantidad de respuestas y comentarios) Dejando de lado las preocupaciones sobre la cardinalidad y centrándonos en las propiedades de abarcamiento, ha resultado que tenemos dos nociones diferentes de independencia lineal: una que implica combinaciones lineales finitas (abarcamiento de Hamel, independencia de Hamel, en la terminología introducida por rschwieb abajo), y otra que permite combinaciones lineales infinitas (cosas de Schauder). Así que el punto es que los vectores en una base de Hamel son independientes de Hamel (por definición) pero no necesariamente son Schauder-independientes en general. Por lo que entiendo, esta es la razón fundamental por la que una base de Hamel no es automáticamente una base de Schauder.
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Por alguna razón, se requiere que toda base de Schauder sea contable, mientras que una base de Hamel tiene permitido ser no contable. Es por eso que es posible tener un espacio de Banach sin base de Schauder. No sé por qué se usa esta convención; presumiblemente, sin embargo, hay una buena razón.
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@user18921: No creo que haya ninguna razón para que una base de Schauder sea numerable (si ese fuera el caso, encontrar un espacio de Banach sin una base no sería un gran logro). Ciertamente, una base de Hilbert es una base de Schauder. Lo importante es que sea independiente en el sentido de las sumatorias infinitas. De lo contrario, una base de Schauder no sería realmente una base.
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@tomasz La contabilidad es parte de la definición de una base de Schauder en todos los casos que recuerdo. El logro es encontrar un espacio de Banach separable sin una base de Schauder.
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@DanielFischer ¿Podría ser esto simplemente un efecto secundario de tantas aplicaciones basadas en espacios de Hilbert separables? Pensé que recordaba que los espacios de Hilbert inseparables de dimensiones muy altas tenían todas bases de Schauder ortonormales...
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@rschwieb Esas son bases de Hilbert y, en los casos no separables, no son bases de Schauder según las definiciones de bases de Schauder que conozco. Una diferencia es que para una base de Hilbert (sistema ortonormal, en general) $\{e_\alpha:\alpha\in A\}$, la familia $\{\langle x,e_\alpha\rangle\cdot e_\alpha:\alpha\in A\}$ siempre es sumable, con suma $x$ (si solo es un sistema ortonormal, la suma es la proyección de $x$ en el espacio cerrado generado). Para una base de Schauder $\{s_i:i\in\mathbb{N}\}$ con los funcionales de coordenadas asociados $\xi_i$, la familia $\{\xi_i(x)\cdot s_i:i\in\mathbb{N}\}$ no necesita ser sumable.
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Y por lo tanto, necesitas el orden impuesto por la indexación con $\mathbb{N}$ para tener un criterio de convergencia bien definido. No estoy seguro de que puedas generalizar eso bien a conjuntos de índices bien ordenados más grandes.
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@DanielFischer Eso parece indicar que una base de Hilbert tiene un criterio adicional, y que tal vez las bases de Schauder no son todas de Hilbert, pero ¿qué axioma(s) de Schauder estamos diciendo que una base de Hilbert no cumple?
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@rschwieb La indexación por $\mathbb{N}$. Una base de Schauder es de alguna manera más general, pero compras esa generalidad con menos generalidad en otro lugar. Una base de Schauder incondicional puede sin problemas (creo, no veo ningún problema acechando, pero no he investigado) generalizarse a familias no numerables, pero sin la incondicionalidad, estás obligado a sumar en un orden específico.
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@DanielFischer Lo siento, me refería a algo además del axioma de indexación por $\Bbb N$ (que presupone la cuestión sobre qué tan grande es la base). Estamos limitados a sumas contables, eso creo. Las bases de Hamel están limitadas a sumas finitas, pero no están restringidas a ser finitas en sí mismas. ¿Hay algo malo en tomar un conjunto no numerable y hablar de sus combinaciones lineales contables?
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@rschwieb Si la familia es sumable, no hay problema. Pero para una base de Schauder, la sumabilidad no es requerida. Ten en cuenta que para una base de Schauder no solo tienes que ser contable, sino también un orden específico. Si $\{ e_j : j \in \mathbb{N}\}$ es una base de Schauder que no es incondicional, existen permutaciones $\pi$ de $\mathbb{N}$ tal que $\{ e_{\pi(j)} : j \in \mathbb{N}\}$ no es una base de Schauder.
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@DanielFischer Lo siento, supongo que todavía estoy pasando por alto algo :( El último comentario aún parece que estás diciendo "Una base de Schauder no cumple este axioma de Hilbert". Estoy de acuerdo con eso, pero estoy preguntando en la otra dirección. (Sin embargo, la última oración de ese comentario es muy interesante, gracias por contármelo. No esperaba que el orden llegara a tener importancia.)
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@DanielFischer Y gracias por ser paciente. Cuando siento que estoy tan cerca de tener una respuesta, normalmente estoy ansioso por seguirla. Estoy seguro de que sabes mucho más sobre esto que yo.
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@rschwieb Una base de Schauder puede carecer de una propiedad agradable que una base de Hilbert tiene automáticamente. Por lo tanto, debemos imponer una restricción en las bases de Schauder que no necesitamos imponer en las bases de Hilbert. Llamemos una base Amigable de un espacio vectorial topológico (Hausdorff localmente convexo de dimensión infinita) $E$ a una secuencia $\{ f_k : k\in \mathbb{N}\}$ tal que para todo $x\in E$ existe una secuencia única $\{\varphi_k(x)\}$ de coeficientes tal que la familia $\{\varphi_k(x)\cdot f_k : k\in\mathbb{N}\}$ es sumable con suma $x$. Una base Amigable es una base de Schauder, y si $E$ es un espacio de Hilbert y el
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La familia es ortonormal, también una base de Hilbert. Ahora, el concepto de "bases amigables" puede generalizarse en diferentes direcciones. Podemos eliminar la contabilidad y podemos eliminar el requisito de sumabilidad. Eliminar ambos conduce a problemas. Una base de Schauder elimina el requisito de sumabilidad y lo reemplaza por la convergencia de la secuencia de sumas parciales en el orden especificado.
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@DanielFischer : OK, Creo que tengo la impresión de que hay una nuanca analítica que se me escapa, y que puedo dejar ir por ahora. La forma en que había estado pensando al respecto, las bases de Hilbert eran simplemente ejemplos de bases de Schauder: colecciones cuyas sumas contables generaban un espacio, y cumplían un axioma de independencia lineal. Parece que no es así. Supongo que necesitaría un ejemplo de una base de Hilbert que no cumpla algún axioma de Schauder (aparte de la contabilidad de la base).
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@DanielFischer: No entiendo: ¿qué nos impide indexar bases de Schauder con cualquier ordinal, o incluso con cualquier poset (dirigido)?
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@rschwieb Ese es el problema, las bases de Hilbert son tan agradables que la incuencia es lo único que puede hacer que no sean una base de Schauder. Las bases de Hilbert son la generalización de un subconjunto de "bases amigables" en una dirección, las bases de Schauder son una generalización en otra dirección. Puedes generalizar las bases amigables en la misma dirección (cardinalidad) que las bases de Hilbert lo hacen para una clase más grande de espacios, pero hasta donde yo puedo ver, eso requiere que mantengas la sumabilidad. La definición de bases de Schauder elimina el requisito de sumabilidad, y por lo tanto - hasta donde yo puedo ver - debe mantener la numerabilidad.
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@DanielFischer: ¿Y qué exactamente quieres decir con dejar de lado la sumabilidad?
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@tomasz La familia $\{ \xi_j(x)\cdot e_j : j\in\mathbb{N}\}$ no necesita ser sumable. Es decir, su suma, y si la suma converge o no depende del orden. Eso prohíbe absolutamente los conjuntos dirigidos generales. Podría ser posible indexar por números ordinales, pero definir la suma (incluso con solo una cantidad contable de términos diferentes de cero) no es fácil (necesitarías un número incontable de operaciones de límite para alcanzar un índice incontable, si mi recuerdo de la teoría de conjuntos no me engaña).
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@DanielFischer: Para los ordinales, parece bastante simple: la suma hasta [e incluyendo] $\alpha$ es el límite de todas las sumas parciales más cortas [más el término $\alpha$] (siempre que existan, y que el límite exista). No debería importar mucho si hay un número contable de términos no nulos o no. En el caso de conjuntos parcialmente ordenados dirigidos generales sin secuencias infinitas descendentes, podemos hacer exactamente lo mismo, por lo que puedo ver. Pero puedo ver que esto puede volverse bastante difícil de manejar y no necesariamente productivo. Gracias por la explicación. :)
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@DanielFischer OK, gracias por compartirme estos pensamientos :)