El sistema de axiomas conocido como ETCS axiomatiza la categoría de conjuntos y funciones. ¿Alguien conoce una forma de axiomatizar la categoría (y/o alegoría) de conjuntos y relaciones ?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Hurkyl
Puntos
57397
Desde Categorías, Alegorías por Freyd, Scedrov:
2.414 . Si $\mathbf{C}$ es un topos, entonces $\mathscr{Rel}(\mathbf{C})$ es una alegoría del poder. Por el contrario, si $\mathbf{A}$ es una alegoría de poder tabular unitaria, entonces $\mathscr{Map}(\mathbf{A})$ es un topos.
Así que un enfoque razonable sería comenzar con " $\mathbf{A}$ alegoría del poder tabular unitario", y luego traduce bien señalado, NNO y AC en el lenguaje de la alegoría.
qed
Puntos
113
Esta es una forma presentada en al menos una publicación:
Los objetos son pares $(X,\rho)$ con $X$ un conjunto y $\rho \subset X \times X $ es una relación sobre $X$ .
Para un par de objetos $(X,\rho)$ y $(Y,\sigma)$ Las flechas son mapas $f: X \to Y$ que conservan la relación, es decir $x_1 \rho x_2 \implies f(x_1) \sigma f(x_2)$ para $x_1, x_2 \in X$ . (¿Las flechas son funciones o relaciones de conjunto?)
(Además, existe una relación inducida entre pares de flechas paralelas, pero tendré que recordar los detalles)
Así es, por ejemplo, como Schreider y Sossinsky definen la categoría de espacios de tolerancia, es decir, conjuntos con una relación reflexiva y simétrica sobre ellos.
Tenga en cuenta que las relaciones aquí no son generales:
(1) las relaciones son binarias
(2) son "endo" ya que se definen en el conjunto $X$ en lugar de relacionar conjuntos distintos ( $\xi \subset X \times Y$ )
(3) son de 2 valores.
No sé si considerar las flechas que reflejar en lugar de conservar sigue siendo la misma categoría (dualizada).
También has escrito "axiomatizar" así que creo que esta respuesta es suficiente. Si has preguntado por propiedades básicas como qué límites existen, eso es otra historia...
