Es si un conjunto es cerrado o no un local de propiedad?

Question

Si quiero mostrar un subespacio topológico es cerrado en un espacio ambiente, no es suficiente saber lo que pasa en un abrir cubierta del espacio ambiental? Más específicamente,

Deje $X$ es un espacio topológico con un determinado abra la cubierta ${ U_i }$. Supongamos que $Z \subset X$ es un conjunto tal que $Z \cap U_i$ es cerrado en $U_i$ todos los $i$. De lo anterior se sigue que el $Z$ es cerrado en X?

Esto es claramente cierto si hay un número finito de ${ U_i }$. A primera vista, parece poco probable que sea cierto en el caso infinito, pero estoy teniendo problemas para subir con una adecuada contra-ejemplo.

Answer 1

Sí, es cierto: los cerrados es un local de propiedad local en la base. En efecto, supongamos $x \notin Z$. A continuación, $x$ está en un barrio $U_i$, que es uno de los conjuntos en la apertura de la tapa. Ahora $x \in U_i - Z \cap U_i$, que es un conjunto abierto, por lo que hay un barrio de $x$, contenida en $U_i$, que no se cruzan $Z \cap U_i$. Esto significa que este barrio de $x$ no se cruzan $Z$.

Esto no es cierto para el cerrado de cubiertas (es decir, con la $U_i$ cerrado) en general, pero es cierto, cuando forman un localmente finito de la cubierta.

Por cierto, si cada punto de $x \in Z$ tiene un vecindario $U$ tal que $Z \cap U$ es cerrado en $U$, $Z$ es llamado localmente cerrado: esto significa que es la intersección de un subconjunto cerrado y un subconjunto abierto, pero que no es necesariamente cerrado.

Answer 2

$U_i \setminus (Z \cap U_i)$ está abierto en $U_i$, así también abierta en $X$. A continuación, $X \setminus Z = \cup_ {i \in I} U_i \setminus (Z \cap U_i)$ está abierto en $X$, es decir, $Z$ es cerrado en $X$.