Deje $A,B,C\in \mathbb{R}$$\sin{A}+\sin{B}+\sin{C}=0$. Demostrar que
$$\cos{(A-2B)}+\cos{(B-2C)}+\cos{(C-2A)}=\cos{(2A-B)}+\cos{(2B-C)}+\cos{(2C-A)}$$
Respuestas
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Esta no es tanto una respuesta, sino una advertencia de que usted no puede simplemente resolver el $LHS$ de math110 de la propuesta de identidad (1) en el $RHS$. WolframAlpha da la versión completa como,
$$\cos{(A-2B)}+\cos{(B-2C)}+\cos{(C-2A)}-\big(\cos{(2A-B)}+\cos{(2B-C)}+\cos{(2C-A)}\big) = 8\sin{\left(\frac{A-B}{2}\right)}\sin{\left(\frac{A-C}{2}\right)}\sin{\left(\frac{B-C}{2}\right)}\big( \sin A +\sin B +\sin C\big)$$
Por lo tanto, para probar (1), usted tiene que demostrar que el $LHS$ de esta nueva ecuación es idénticamente igual a la $RHS$.
Mike Cole
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La primera idea que viene a la mente para expresar todo lo que en términos de $\sin A,\ \sin B,\ \sin C$ (y los cosenos). Resulta que funciona:
Comienzan con $\cos (A - 2B ) = \cos A \cos 2B + \sin A \sin 2B $ (por la fórmula de la $\cos (x+y)$). Ahora, deshacerse de la doble ángulos: $\cos 2B = 1 - 2 \sin^2 B$$\sin 2B = 2 \sin B \cos B$. Esto le da a usted: $$\cos (A - 2B ) = \cos A - 2 \cos A \sin^2B + 2 \sin A \sin B \cos B $$ Ahora, la expresión en el lado izquierdo es (usando cíclico balance): $$ L = \sum_{\text{cyc}} \cos A - 2\sum_{\text{cyc}} \cos A \sin^2B + 2 \sum_{\text{cyc}}\sin A \sin B \cos B $$ Tenga en cuenta que se sigue de la hipótesis de $\sin A + \sin B + \sin C = 0$ (moviendo $\sin B$ hacia el otro lado, y multiplicando por $\sin B$$- \sin^2 B = \sin A \sin B + \sin C \sin B$, por lo que este es: $$ L = \sum_{\text{cyc}} \cos A + 2\sum_{\text{cyc}} \cos A \sin B \sin A + 2\sum_{\text{cyc}} \cos A \sin B \sin C + 2 \sum_{\text{cyc}}\sin A \sin B \cos B $$ Esta ha crecido un poco desordenado, pero si cambiamos la suma en la última suma para que se convierta en $ \sum_{\text{cyc}}\sin C \sin A \cos A$, usted puede cambiar en algo mejor: $$ L = \sum_{\text{cyc}} \cos A + 2\sum_{\text{cyc}} \cos (\sin \pecado B + \pecado B \pecado C + \sin C \pecado ) \\ = (1 + 2\sin \pecado B + 2\pecado B \pecado C + 2\sin C \pecado )\sum_{\text{cyc}} \cos Un $$
Ahora, mira el lado derecho. Por supuesto, podríamos rehacer los cálculos, y se saldría de la misma. Hay una manera mejor de ver esto: lado derecho difiere de la izquierda, justo por orden de $A,B,C$ (en el sentido de que si denotar la expresión de la izquierda por $L(A,B,C)$, y el de la derecha por $R(A,B,C)$,$R(A,B,C) = L(C,B,A)$). Pero la fórmula que hemos llegado no dependen del orden de $A,B,C$! Por lo $R(A,B,C) = L(C,B,A) = L(A,B,C)$, que es lo que queríamos.
Para asegurarse de que la solución propuesta es más legible, permítanme explicar lo que quiero decir por $\sum_{\text{cyc}}$. Si $f(A,B,C)$ es cualquier expresión que implique $A,B,C$, $\sum_{\text{cyc}} f(A,B,C)$ me refiero a la expresión de $f(A,B,C) + f(B,C,A) + f(C,A,B)$. Por ejemplo, $\sum_{\text{cyc}} \sin A \cos B = \sin A \cos B + \sin B \cos C + \sin C \cos A$. El razonamiento fuertemente depende de la grasa que el problema no se modifica con la cíclico reordenamiento de $A,B,C$, así que si tengo que hacer algunos cálculos para, digamos, $\sin^2 B$, aproximadamente el mismo puede ser hecho por $\sin^2 A $$\sin^2 C$. Tenga en cuenta que $\sum_{\text{cyc}} f(A,B,C) = \sum_{\text{cyc}} f(B,C,A)$. También, $\sum_{\text{cyc}} f(A,B,C)g(A,B,C) = g(A,B,C) \sum_{\text{cyc}} f(A,B,C)$ que $g(A,B,C)= g(B,C,A)=g(C,A,B)$
