Se supone que debo demostrar que todas las secuencias de Cauchy converge, con el hecho de que una secuencia converge iff su lim sup es igual a su lim inf. Creo que la prueba me funciona, pero el que se da en las soluciones es diferente, así que me gustaría asegurarme. También, esto es para una clase de cálculo, no de análisis real, así que no sé acerca de la métrica espacios ni nada de eso. Creo que el problema pertenece exclusivamente a las secuencias en $\mathbb{R}$.
Tenemos la secuencia de Cauchy $\{a_n\}$. Por la definición de la secuencia de Cauchy, tenemos $$\left|a_m-a_n\right|<\frac{\epsilon}{3}$$ para un determinado$\epsilon>0$$m,n>N$. Existen los números de $\inf_{n>N}\{a_n\}$$\sup_{n>N}\{a_n\}$, es decir, el infimum y supremum de la secuencia con la primera $N$ términos truncados. Por la definición de la infimum, debemos tener $$\left| a_{low}-\inf_{n>N}\{a_n\}\right|<\frac{\epsilon}{3}$$ para algunos $a_{low} \in \{a_n|n>N\}$, porque de lo contrario $\inf_{n>N}\{a_n\}+\frac{\epsilon}{3}$ sería un mayor límite inferior de $\{a_n|n>N\}$ que el infimum, una contradicción. Por el mismo razonamiento, también tenemos $$\left|\sup_{n>N}\{a_n\}-a_{high}\right|<\frac{\epsilon}{3}$$ para algunos $a_{high} \in \{a_n|n>N\}$. Ahora, por la definición de la secuencia de Cauchy, debemos tener $$\left|a_{high}-a_{low}\right|<\frac{\epsilon}{3}$$ La expansión de los términos de valor absoluto da $$-\frac{\epsilon}{3}<a_{low}-\inf_{n>N}\{a_n\}<\frac{\epsilon}{3}$$ $$-\frac{\epsilon}{3}<\sup_{n>N}\{a_n\}-a_{high}<\frac{\epsilon}{3}$$ $$-\frac{\epsilon}{3}<a_{high}-a_{low}<\frac{\epsilon}{3}$$ Añadir estos juntos $$-\epsilon<\sup_{n>N}\{a_n\}-\inf_{n>N}\{a_n\}<\epsilon$$ Así $$\left|\sup_{n>N}\{a_n\}-\inf_{n>N}\{a_n\}\right|<\epsilon$$ que, recordamos, tiene por $n>N$. Por la definición de límite infinito, entonces, porque podemos hacer la diferencia de la infimum y el supremum arbitrariamente cerca de cero por el aumento de $N$, tenemos $$\lim_{N \rightarrow \infty}\left( \sup_{n>N}\{a_n\}-\inf_{n>N}\{a_n\} \right)=\lim_{N \rightarrow \infty}\sup_{n>N}\{a_n\}-\lim_{N \rightarrow \infty}\inf_{n>N}\{a_n\}=0$$ Entonces el lim inf de cualquier secuencia de Cauchy es igual a su lim sup, y por lo tanto converge.
