Solución analítica para $a^x+b^x=x$

Question

Tal vez sea una pregunta estúpida, pero me lo estoy preguntando. ¿Existe una solución analítica para la ecuación $$a^x+b^x=x$$ en general $a$ , $b$ . ¿Cómo debo abordar este problema, si quiero encontrar al menos una $x$ . Gracias.

Answer 1

Para $a \ge e^{1/e} = 1.444667861\ldots$ tenemos $a^x \ge x$ para todos $x$ . Por lo tanto, necesitamos al menos $a < e^{1/e}$ y $b < e^{1/e}$ .

Y para $a > e^{1/2e} = 1.201943368\ldots$ tenemos $a^x > x/2$ para todos $x$ . Por lo tanto, necesitamos al menos $a \le e^{1/2e}$ o $b \le e^{1/2e}$ .

Puede comprobar estas cifras diferenciando $f(x) = a^x - x$ (resp. $f(x) = a^x - x/2$ ) con respecto a $x$ , poniendo esta derivada a cero para encontrar el valor de $x$ que minimiza $f(x)$ y eligiendo $a$ para que este valor mínimo sea cero.

Answer 2

Como ejemplo ilustrativo de este problema, propongo aquí la base de un posible algoritmo; éste utilizará un método de iteración Newton de segundo orden y, como siempre, el punto clave será encontrar un punto de partida razonable.

Asumiendo que la función de Lambert está disponible, permítanme considerar dos funciones $$f(x) =a^x+b^x-x$$ y $$g(x)=2c^x-x$$ Expandiendo ambas funciones como series de Taylor construidas en x = 0, el parámetro "c" es Sqrt[a b] y la solución de g(x)=0 viene dada por -W(-2z)/z donde z=Log(c). A partir de aquí pueden comenzar las iteraciones de Newton.

Supongamos que a=0,75 y b=1,25; esto conduce a c=0,968246 y a una estimación igual a 1,88214 para g(x)=0. Los iterados sucesivos son 2,14996, 2,15557, 2,15558, 2,15558.

Si no se dispone de la función de Lambert, la expansión de Taylor de primer orden de f(x) da una estimación igual a 2 / (1 - Log(a b)) que, para el caso seleccionado, es 1,87875 y la trayectoria de la solución será idéntica a la anterior.

El último método muestra claramente que habría un problema si a b = e como ya se ha subrayado en los comentarios y respuestas del post.

De hecho, excepto si se hace un gráfico de la función, no sabemos si existen soluciones. Así que, en caso de duda, mi sugerencia sería minimizar f(x)^2 con respecto a x

Answer 3

No existe una solución de forma cerrada en términos de funciones estándar, excepto en casos especiales. Si $a$ y $b$ se dan, podrías probar con métodos numéricos, como el de Newton.

Answer 4

Aviso si $a=b=1$ , entonces se obtiene una solución trivial $x = 2$ . Afirmo que si $a,b$ son ambos $\geq2$ , entonces NO hay solución!. Para ver esto, supongamos que hay una solución $x$ tal que

$$ a^x + b^x = x $$ .

Aviso ya que $a$ y $b$ son mayores que $2$ , entonces lo siguiente es trivialmente cierto

$a^x > x $ y $b^x > x $ . Esto implica que $a^x + b^x > 2x $

$$ x = a^x + b^x > 2x \implies x < 0 $$ .

Sin embargo, $a^x, b^x$ son siempre positivos para cada $x$ Por lo tanto $a^x + b^x$ debe ser positivo. Contradicción.

Answer 5

Otro caso especial interesante es si $b=\frac{1}{a}\ne 1$ es decir, la ecuación cambia a $a^x+a^{-x}=x$ .

Entonces podemos encontrar que si $a=a^\star=e^{\frac{1}{2\sinh q}}=1.392877\dots$ o $a=a^{\star\star}=e^{-\frac{1}{2\sinh q}}=0.7179\dots$ donde $q$ es la solución a $\coth q = q$ (esto se puede encontrar en la literatura para ser $q=1.19967874\dots$ ) entonces hay exactamente una solución ( $x=2\cosh q\approx3.6203\dots$ ).

Si $a>a^\star$ o $a<a^{\star\star}$ entonces no hay solución, y si $a\in(a^{\star\star},a^\star)=(0.7179,1.392877)$ hay exactamente dos soluciones (ambas para $x>0$ ).